Содержание

Оптимальность по Парето: понятие, основные вопросы, примеры

Оптимальность по Парето является экономическим состоянием, в котором ресурсы не могут быть перераспределены, чтобы сделать одному человеку лучше, не делая по крайней мере одному человеку хуже. Она подразумевает, что ресурсы распределяются наиболее эффективным образом, но не предполагает равенства или справедливости.

Основатель

Оптимальность названа в честь Вильфредо Парето (1848-1923), итальянского инженера и экономиста, который использовал эту концепцию в своих исследованиях экономической эффективности и распределения доходов. Эффективность по Парето была применена в таких академических областях, как экономика, инженерия и наука о жизни.

Вилфред Парето

Обзор концепции Парето

Существует два основных вопроса оптимальности по Парето. Первый затрагивает условия, при которых распределение, связанное с любым конкурентным рыночным равновесием, является оптимальным. Второй обращается к условиям, при которых любое оптимальное распределение может быть достигнуто как конкурентное рыночное равновесие после использования паушальных трансферов богатства. Решение этих вопросов зависит от контекста. Например, если изменение экономической политики устраняет монополию, и этот рынок впоследствии становится неконкурентоспособным, выгоды для других могут быть значительными. Однако, поскольку монополист находится в неблагоприятном положении, это не является улучшением Парето.

Два основных вопроса

В экономике

Экономика находится в оптимальном состоянии по Парето, когда никакие дальнейшие изменения в ней не могут сделать одного человека богаче, не делая в то же время другого беднее. Это социально оптимальный результат, достигнутый на идеально конкурентном рынке. Экономика будет эффективной при условии полной конкурентоспособности и статического общего равновесия. Когда система цен находится в равновесии, продукт предельного дохода, альтернативные издержки и стоимость ресурса или актива равны. Каждая единица товара и услуги используется наиболее продуктивно и наилучшим образом. Никакая передача ресурсов не может привести к повышению отдачи или удовлетворенности.

Оптимальность в экономике

В производстве

Оптимальность по Парето в производстве возникает, когда имеющиеся факторы распределяются между продуктами таким образом, чтобы повысить выпуск одного продукта без сокращения выпуска другого. Это аналогично технической эффективности на уровне фирмы.

Существует множество ситуаций, в которых можно повысить общий объем производства в экономике путем простого перераспределения факторов производительности без каких-либо дополнительных затрат. Например, если в сельскохозяйственном секторе занято много непродуктивной, низкооплачиваемой рабочей силы, а в промышленном секторе, где производительность труда потенциально высока, ощущается нехватка рабочей силы, то владельцы фабрик будут повышать цены на рабочую силу и привлекать ее из сельскохозяйственного сектора в промышленный.

Оптимальность в производстве

Эффективность производства возникает в тех случаях, когда сочетание фактически произведенных продуктов таково, что не существует альтернативного сочетания продуктов, которое повысило бы благосостояние одного потребителя без снижения благосостояния другого.

Парето на практике

Помимо применения в экономике, концепция улучшения Парето может быть использована во многих научных областях, где моделируются и изучаются компромиссы для определения количества и типа перераспределения переменных ресурсов, необходимых для достижения эффективности. Так, руководители заводов могут проводить испытания, во время которых они перераспределяют трудовые ресурсы, чтобы попытаться повысить производительность сборочных рабочих, не говоря уже о снижении производительности упаковочных и отгрузочных рабочих.

Простой пример оптимальности по Парето: есть два человека, один с буханкой, другой с куском сыра. И то и другое можно сделать лучше, обменяв продукты. Эффективная система обмена позволит осуществлять обмен хлебом и сыром до тех пор, пока ни одной из сторон не станет лучше без ухудшения положения другой.

Оптимальный обмен

Теория игр

Оптимальность по Парето отвечает на очень конкретный вопрос: «Может ли один результат быть лучше, чем другой?» Оптимальный результат игры не может быть улучшен без ущерба для хотя бы одного игрока. Чтобы проиллюстрировать это, можно взять игру под названием «Оленья охота», в которой участвуют два человека. Каждый может индивидуально выбрать для охоты оленя или зайца. При этом игрок должен выбрать действие, не зная выбора другого. Если человек охотится на оленя, он должен сотрудничать со своим партнером, чтобы добиться успеха. Человек может добыть зайца самостоятельно, но он стоит дешевле оленя. Таким образом, в игре есть один результат, который является оптимальным по Парето. Он заключается в том, что оба игрока охотятся на оленей. При таком исходе они получают по три выигрыша, что является самым большим возможным призом для каждого игрока.

Игра "Олень и охотник"

Правило Парето

Принцип Парето 80/20 утверждает, что для многих событий примерно 80 % последствий вытекают из 20 % причин. Вильфредо Парето отметил эту связь в Лозаннском университете в 1896 году, опубликовав ее в своей первой работе Cours d'economie politique. По существу, он показал, что примерно 80 % земли в Италии принадлежит 20 % населения. Математически за правилом 80/20 следует распределение степенного закона (также известное как распределение Парето) для определенного набора параметров. Опытным путем было показано, что многие природные явления демонстрируют такое распределение. Принцип лишь косвенно связан с оптимальностью по Парето. Он разработал обе концепции в контексте распределения доходов и богатства среди населения.

Принцип Парето 80/20

Теория равновесия

Оптимальность по Парето приводит к максимизации совокупного экономического благосостояния для распределения доходов и определенного набора потребительских предпочтений. Сдвиг в распределении доходов изменяет доходы отдельных потребителей. По мере изменения их доходов изменяются и их предпочтения, поскольку кривые спроса на различные продукты смещаются влево или вправо. Это приведет к новой точке равновесия на различных рынках, составляющих экономику. Таким образом, поскольку существует бесконечное число различных способов распределения дохода, существует также бесконечное число различных оптимальных равновесий Парето.

Теория равновесия

Выводы

Очевидно, что на практике ни от одной экономики нельзя ожидать достижения оптимального положения. Кроме того, принцип Парето практически не используется в качестве инструмента политики, поскольку редко можно разработать такую, которая делала бы кого-то лучше, не делая кого-то еще хуже. Тем не менее это важное понятие в неоклассической традиции экономики и объединяет большую часть теории. Это также стандарт, по которому экономисты могут исследовать реальный мир, где сделать одного человека лучше почти всегда означает сделать кого-то другого хуже.

Принцип Парето

Почему в мире не бывает равенства и почему ничего плохого в этом нет.
 

Схема эта видна повсюду: 1% богатейших людей контролирует 35% всего мирового богатства. 2% пользователей Twitter отправляют 60% сообщений. В системе здравоохранения наиболее дорогостоящее лечение, необходимое пятой части пациентов, составляет четыре пятых всех расходов. Эти цифры всегда преподносятся как шокирующие, нарушающие нормальный порядок вещей, будто ситуация, в которой деньги или сообщения не распределяются линейно, в наивысшей степени неожиданна. Но ничего неожиданного в этом нет. Вернее, не должно быть.
 
Итальянский экономист Вильфредо Парето столетие назад выяснил, что в разных странах мира наиболее состоятельные 25% населения контролировали большую часть богатства. Следствия феномена, обнаруженного Парето, известны под множеством имен: правило 80/20, закон Ципфа, распределение по степенному закону, принцип «победитель получает все» — но модель распределения всегда одна: самые богатые, деятельные, имеющие больше всего связей участники системы отвечают за состояния, действия или количество связей, в разы превышающие средние показатели.
 
Кроме того, данная схема рекурсивна (рекурсия — способ общего определения множества объектов или функций через себя, с использованием ранее заданных частных определений. — Esquire). Это означает, что внутри верхних 20% системы, обнаруживающей распределение Парето, в свою очередь есть свои верхние 20%, которые дают непропорционально больший результат, чем остальные 80%. И так далее. Элемент, который находится на верхушке такой системы, будет обладать гораздо большим весом, чем все остальные (так, в английском языке слово «the» является не только самым распространенным, но и встречается в два раза чаще, чем второе по частоте употребления слово «of»).
 
Пример распределения Парето

Схема, обнаруженная Парето, оказалась настолько распространенной, что он назвал ее «предсказуемым несоответствием». Впрочем, он был слишком оптимистичен — даже сто лет спустя мы не научились предсказывать это вездесущее несоответствие. Отчасти наше неумение ожидать ожидаемого объясняется тем, что нас учат: хрестоматийное распределение больших систем — это Гауссово распределение, общеизвестное в качестве кривой нормального распределения. Например, на кривой нормального распределения роста среднее значение и медиана (срединная точка в системе) совпадают: средний рост ста американок, отобранных случайным образом, составляет около 165 см, при этом, если всех их выстроить по росту, то высота пятидесятой по счету будет 165 см.
 
Пример нормального (Гауссова) распределения
 

В распределениях Парето все иначе: рекурсивное долевое соотношение 80/20 означает, что среднее находится далеко от середины. Это, в свою очередь, означает, что в подобных системах большинство людей (или того, что подлежит измерению) показывают результат меньше среднего. У экономистов есть шутка: «Когда Билл Гейтс заходит в бар, то все его посетители становятся, в среднем, миллионерами». Распределение Парето проявляется в удивительно большом множестве сложных систем: ему следует частота тэгов к фотографиям на Flickr, сила землетрясений, популярность книг, размер астероидов и количество контактов у ваших друзей. Этот принцип является настолько базовым для научных исследований, что производится даже специально разлинованная бумага, показывающая распределение Парето в виде прямых линий.

 
Но несмотря на то что науке все это известно уже сто лет, примеры распределений Парето регулярно представляются общественности как аномалии, мешающие ясному видению мира. Мы должны отказаться от мысли, что средний семейный доход и доход средней семьи имеют что-то общее и что самое большое землетрясение или падение на рынке в будущем окажется сопоставимо с самой масштабной катастрофой в прошлом. Чем дольше существует система, тем выше вероятность события, которое в два раза превосходит все предшествующие.
 
Это не означает, что мы никак не можем воздействовать на такие распределения. Снижение кривой Парето от «головы» к «хвосту» может быть более или менее резким. Иногда политическое или социальное вмешательство способно повлиять на крутизну кривой — налоговая политика может повысить или снизить долю дохода 1% самых богатых жителей страны. Но пока мы не признали, что есть множество систем, в которых действует распределение Парето, и что они останутся таковыми всегда, мы даже не начали их осмысливать. Вероятно, мы просто пытаемся надеть на «корову» Парето «седло» Гаусса. Сто лет спустя после открытия «предсказуемого несоответствия» мы должны довести дело до конца и все-таки начать его предвидеть.

Распределение Парето - Энциклопедия по экономике

Теоретический анализ, опирающийся на специальные раз-теории вероятностей, а также серия поставленных на ЭВМ вычислительных экспериментов показали, что только узкое семейство вероятностных распределений, простейшим из которых является распределение Парето, при О 1, надежно обеспечивает концентрацию > 75% промышленных запасов нефти менее чем в 1О% месторождений. Именно такие цифры и закономерности характерны для подавляющего большинства нефтегазоносных бассейнов и мира [l]  [c.82]
Рис. 10.5. Пример распределения Парето (Значения из табл.10.1)  [c.49]

Распределение Парето - это усеченное слева распределение, плотность вероятности и функция распределения которого выражаются в виде х [c.40]

Распределение Парето можно модифицировать таким образом, чтобы его можно было использовать для описания симметричных распределений вероятностей. Введя новую переменную t = X — В, получим  [c.40]

Распределение изменений цены в общем случае относится к распределениям Парето (см. приложение В). Распределение торговых P L можно считать трансформацией распределения цен. Эта трансформация является результатом торговых методов, когда трейдеры пытаются понизить свои убытки и увеличить прибыли, следовательно, распределение торговых P L можно отнести к распределениям Парето. Однако распределение, которое мы будем изучать, не является распределением Парето. Распределение Парето, как и все другие функции распределения, моделирует определенное вероятностное явление. Оно моделирует распределение сумм независимых, идентично распределенных случайных переменных. Функция распределения, которую мы будем изучать, не моделирует конкретное вероятностное явление. Она моделирует многие унимодальные функции распределения. Поэтому она может повторить форму и плотность вероятности распределения Парето, а также любого другого унимодального распределения. Теперь мы создадим эту функцию. Для начала рассмотрим следующее уравнение  [c.121]

Мы полагаем, что распределение этих 150 не учитываемых миллиардов при отсутствии фискально-перераспределительного воздействия государства подчиняется закону распределения Парето 20% самых богатых получают 80% всех доходов (120 из 150 дополнительных миллиардов).  [c.310]

После изучения достаточно обширного статистического материала Парето пришел к выводу, что параметры этого распределения примерно одинаковы и не различаются принципиально в разных странах и в разное время. Кривая распределения доходов отличается замечательной устойчивостью, она меняется незначительно, хотя сильно преображаются обстоятельства времени и места, при которых ее наблюдают , — писал Парето в Социалистических системах . Форма этой кривой зависит от биологически заданного распределения психологических особенностей людей. Закон Парето породил обширную экономическую литературу, как критическую, так и интерпретирующую распределение Парето в отношении самых разных приложений — экономических, общественных, биологических, демографических и т. п.  [c.281]

В предыдущей главе мы видели возможную замену нормального распределения как вероятностной функции для описания рыночных прибылей. Эта замена называлась, поочередно, устойчивыми распределениями Леей, устойчивыми распределениями Парето или распределениями Парето-Леви. Теперь мы можем добавить фрактальные распределения - название, которое лучше их описывает. Поскольку традиционные названия даны в честь математиков, которые их создали, мы будем использовать все эти названия попеременно.  [c.209]

Равновесие. Устойчивое состояние системы. См. аттрактор . Распределения Парето (Парето-Леви). См. фрактальное распределение .  [c.289]

Распределение Парето—Леви Упражнения  [c.171]

Оставшаяся часть этой главы посвящена анализу различных распределений вероятностей, применимых при оценке поведения рентабельности активов при условии соответствующих допущений. Начнем с двух непрерывных распределений — нормального и логнормального. Затем рассмотрим два дискретных распределения — биномиальное и Пуассона. Закончим рассмотрение группой других непрерывных распределений, в том числе и распределением Парето—Леви. Объясним наиболее желательные характеристики распределений с точки зрения финансового аналитика.  [c.189]

Такое семейство распределений — это стабильные распределения, называемые так потому, что при сложении распределений (перемножая линейные комбинации характеризующих их функций) этого семейства получается другое распределение, относящееся к этому же семейству. Стабильные распределения в свою очередь состоят из других, лежащих в их основе, распределений. Распределения, построенные на основе распределения Парето (функция плотности вероятности которого ДА) = а/А +1 для Х> 1), обладают требуемыми характеристиками (симметричность, высокий пик и "жирные" хвосты) при конкретных значениях четырех определяющих параметров. Эти четыре параметра  [c.211]

При этом получится распределение Парето (см. рис. 27) и появится возможность выявить несколько важнейших видов неполадок, на долю которых обычно приходится около 70 % всех случаев отказов. Когда информация распределена по убывающей важности, можно сконцентрировать внимание на тех участках, проработка которых даст наибольший эффект.  [c.191]

Рис. 27 заимствовал из отчета об отказах, обнаруженных в автомобилях Швеции во время обязательного ежегодного контроля. На нем представлена типичная картина распределения Парето.  [c.192]

Распределение Парето графически представлено на рис. 12.5.  [c.326]

Доходы Рис. 12.5. Распределение Парето  [c.327]

На оси х показаны доходы, а на оси/(л ) число домохо-зяйств или лиц, имеющих доход, равный или больше определенной границы (х0). Распределение Парето на практике применяется при аппроксимации ранжированного по уровню доходов ряда получателей дохода внутри интервала, т. е. с его помощью описывают уровень дохода от количества получателей, чьи доходы выше или ниже заданных уровней.  [c.327]

В связи с соотношением (1) уместно напомнить, что в математической статистике хорошо известно распределение со степенным характером убывания плотности - это распределение Парето с плотностью (а > О, Ь>0)  [c.389]

Рассмотрим распределение Парето с плотностью  [c.404]

В последнее время традиционные модели портфелей подвергаются серьезной критике, поскольку считается, что ценовые изменения лучше всего описываются распределением Парето с бесконечной (или неопределенной) дисперсией. Однако многие исследования доказывают, что рынки в последние годы стали ближе к нормальному распределению (т.е. к ограниченной дисперсии и независимости результатов), на чем и основаны критикуемые модели портфелей. В моделях портфелей используется распределение прибылей, а не распределение изменений цен. Несмотря на то что распределение прибылей является трансформированным распределением изменений цены (в результате закрытия проигрышных сделок и максимально долгого удержания выигрышных позиций), эти распределения, как правило, отличаются. Распределение прибылей не обязательно относится к классу распределений Парето, поэтому в главе 4 мы моделировали распределение P L с помощью регулируемого распределения. Более того, существуют производные инструменты, например, опционы, которые имеют ограниченную полудисперсию или дисперсию. Например вертикальный опционный спред в дебете гарантирует ограниченную дисперсию прибылей. Я не пытаюсь оспаривать разумную критику современных моделей портфелей. Модели следует использовать при условии, что мы осознаем их недостатки. Разумеется, необходимы более совершенные модели портфелей. Я не заявляю, что современные модели адекватны, а говорю лишь о том, что входные данные для моделей портфелей, нынешних или будущих, должны основываться на торговле одной единицей на оптимальном уровне — или на том уровне, который, как мы полагаем, будет оптимальным. Например, если мы применяем теорию Е — V (модель Марковица), входными данными являются ожидаемая прибыль, дисперсия прибылей и корреляции прибылей между рыночными системами. Входные данные должны определяться на основе торговли одной единицей по каждой рыночной системе на уровне оптимального Модели  [c.245]

Третьим, характерным в основном для природных рисков, физическим распределением является распределение Парето (или самоподобное распределение). Функция плотности вероятности распределения ущерба при этом убывает по степенному закону  [c.94]

В предыдущем разделе мы предполагали, что государство является арбитром в ситуации с внешними эффектами, устанавливая плату за право на внешний эффект, которая сделает распределение парето-эффек-тивным. Но предположим, что государство не может или не хочет вмешаться. Смогут ли участники этой ситуации разобраться без его участия и каким будет итог этого разбирательства  [c.379]

В случае ЕМН, теория была развита, чтобы оправдать использование статистических инструментов, которые требуют независимости или, в лучшем случае, очень краткосрочной памяти. Теория часто вступала в противоречие с наблюдаемым поведением. Например, согласно ЕМН частота изменения цены должна быть хорошо представлена нормальным распределением. Мы видели в Главе 2, что дело обстоит не так. Существует слишком много больших изменений, идущих и вверх и вниз, во всех частотах, чтобы приспособить эту нормальную кривую к этим распределениям. Однако такие большие изменения были обозначены как особые события или "аномалии" и не включались в частотное распределение. Результатом исключения больших изменений и перенормирования является нормальное распределение. Изменения цены были обозначены как "приблизительно нормальные". Альтернативы нормального распределения, например, устойчивое распределение Парето, были отклонены, даже несмотря на то, что они соответствуют наблюдаемым стоимостям без модификаций. Почему Стандартный статистический анализ не мог быть применен с использованием таких распределений.  [c.49]

Показатель Херста (Н). Мера смещения в частично броуновском движении Н=0,50 для броуновского движения 0,50[c.289]

Придя к выводу о том, что рыночные прибыли не следуют нормальному распределению, нельзя удивляться, если волатильность окажется весьма неустойчивой. Причина в том, что дисперсия устойчива и конечна только для нормального распределения, а рынки капитала, следуя постулату Мандель-брота, подчиняются устойчивым распределениям Парето.  [c.49]

Фрактальные распределения известны достаточно давно. В экономической литературе они носят названия Парето , или Парето-Леви , или устойчивые паретовские распределения. Свойства этих распределений первоначально были изучены Леви и опубликованы в 1925 г. Его работа основана, в свою очередь, на наблюдениях Парето (1897), касающихся распределения доходов. Последним было обнаружено, что доход хорошо аппроксимируется логнормальным распределением, за исключением приблизительно трех процентов наивысших индивидуальных доходов. На этом участке доход начинает следовать обратному степенному закону, что дает утолщв" ние хвоста. Грубо говоря, вероятность того, что один человек в десять раз богаче другого, подчиняется нормальному рас" пределению, но вероятность стократного превышения благосостояния оказывается намного больше той, что предсказывается нормальным распределением. Парето предположил, что этот утолщенный хвост, вероятно, возникает потому, что богатый может более эффективно умножать свое богатство, чем средний индивид, чтобы достичь более высокого благосостояния и более высоких доходов. Похожий обратно-степенной з кон был найден Ципфом (G. К. Zipf, 1948) для частот исполь-  [c.130]

Это толстохвостое , островершинное распределение является характерной формой распределения Парето. Леви обобщил характеристическую функцию вероятностных распределений следующей достаточно сложной формулой  [c.132]

Мы полагаем распределение Парето фрактальным, потому что оно статистически самоподобно по отношению к времени-Если распределение дневных цен имеет среднюю величину и a = а, то распределение пятидневных прибылей должй° иметь среднее значение 5 m и при этом должно остаться  [c.132]

В связи с показательной асимптотикой в (7) и (8) уместно сейчас вспомнить о распределении Парето, для которого плотность распределения вероятностей  [c.235]

Сравнение с (7) и (8) показывает, что на бесконечности устойчивые распределения ведут себя так же, как и распределения Парето. В этом смысле "хвостовая" часть устойчивых распределений относится к паретовскому типу.  [c.235]

Отметим, что часто, особенно в финансовой литературе, распределениями типа Паретои даже просто распределениями Парето называют распределения вероятностей, плотность которых на бесконечности убывает (как у а-устойчивых законов с 0 [c.390]

Распределение Парето — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений, являющихся степенными. Называется по имени Вилфредо Парето. Встречается при исследовании различных явлений, в частности, социальных, экономических, физических и других[1]. Вне области экономики иногда называется также распределением Брэдфорда.

Определение

Пусть случайная величина X{\displaystyle X} такова, что её распределение задаётся равенством:

FX(x)=P(X<x)=1−(xmx)k,∀x≥xm{\displaystyle F_{X}(x)=P(X<x)=1-\left({\frac {x_{m}}{x}}\right)^{k},\;\forall x\geq x_{m}},

где xm,k>0{\displaystyle x_{m},k>0}. Тогда говорят, что X{\displaystyle X} имеет распределение Парето с параметрами xm{\displaystyle x_{m}} и k{\displaystyle k}. Плотность распределения Парето имеет вид:

fX(x)={kxmkxk+1,x≥xm0,x<xm.{\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {kx_{m}^{k}}{x^{k+1}}},&x\geq x_{m}\\0,&x<x_{m}\end{matrix}}\right..}

Моменты

Моменты случайной величины, имеющей распределение Парето, задаются формулой

E[Xn]=kxmnk−n,{\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {kx_{m}^{n}}{k-n}},}

откуда, в частности,

E[X]=kxmk−1,{\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {kx_{m}}{k-1}},}
D[X]=(xmk−1)2kk−2.{\displaystyle \mathrm {D} [X]=\left({\frac {x_{m}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}.}

Приложения

Вилфредо Парето изначально использовал это распределение для описания распределения благосостояния, а также распределения дохода[2]. Его «правило 20 к 80» (которое гласит: 20 % популяции владеет 80 % богатства) однако зависит от конкретной величины k, и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в Cours d'économie politique говорят, что там примерно 30 % населения владеет 70 % общего дохода.

Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры:

  • В лингвистике распределение Парето известно под именем закона Ципфа (для разных языков показатель степени может несколько различаться, также существует небольшое отклонение от простой степенной зависимости у самых частотных слов, однако в целом степенной закон описывает это распределение достаточно хорошо). Частными проявлениями этой закономерности можно считать:
    • Зависимость абсолютной частоты слов (сколько всего раз каждое конкретное слово встретилось) в достаточно длинном тексте от ранга (порядкового номера при упорядочении слов по абсолютной частоте). Степенной характер остается вне зависимости от того, приводятся ли слова к начальной форме или берутся из текста как есть.
    • Аналогичная кривая для популярности имен.
  • Распределение размера населенных пунктов.[3]
  • Распределение размера файла в интернет-трафике по TCP-протоколу.[3][нет в источнике]

См. также

Примечания

  1. ↑ Guerriero, V. (2012). «Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics». Journal of Modern Mathematics Frontier (JMMF), 1: 21-28.
  2. ↑ Pareto, Vilfredo, Cours d’Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino, Librairie Droz, Geneva, 1964, pages 299—345.
  3. 1 2 William J. Reed et al., «The Double Pareto-Lognormal Distribution — A New Parametric Model for Size Distributions», Communications in Statistics : Theory and Methods 33(8), 1733—1753, 2004 p 18 et seq.

Литература

  • Артюхов В. В. Эффективность // Общая теория систем: Самоорганизация, устойчивость, разнообразие, кризисы. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — С. 60—68. — 224 с. — ISBN 978-5-397-00855-6.

Эта статья или раздел содержит незавершённый перевод с иностранного языка.

Вы можете помочь проекту, закончив перевод. Если вы знаете, на каком языке написан фрагмент, укажите его в этом шаблоне.

Диаграмма Парето

Возможно вы уже слышали про "Закон Парето" или "Принцип 20/80". В конце 19 века итальянский социолог и экономист Вильфредо Парето обнаружил, что распределение богатства в обществе неравномерно и подчиняется определенной зависимости: с ростом обеспеченности количество богатых людей уменьшается в геометрической прогрессии с постоянным коэффициентом (среди итальянских домохозяйств 80% доходов было у 20% семей). В дальнейшем эту идею в своей книге развил Ричард Кох, предложивший формулировку универсального "Принципа 20/80" (20% усилий дают 80% результата). На практике этот закон обычно выражается не в таких красивых цифрах (почитайте "Длинный хвост" Криса Андерсона), но отчетливо показывает неравномерность распределения ресурсов, прибыли, затрат и т.д.

В бизнес-анализе часто строят диаграмму Парето, отображающую эту неравномерность. С ее помощью можно наглядно показать, например, какие товары или клиенты приносят наибольшую прибыль. Выглядит она обычно так:

pareto1.png

Ее основные особенности:

  • Каждый синий столбец гистограммы представляет собой прибыль по товару в абсолютных единицах и откладывается по левой оси.
  • Оранжевый график представляет собой накопленный процент прибыли (т.е. долю прибыли нарастающим итогом).
  • На условной границе в 80% обычно рисуют пороговую горизонтальную линию для наглядности. Все товары левее точки пересечения этой линии с графиком накопленной прибыли - приносят нам 80% денег, все товары правее - оставшиеся 20%.

Давайте разберем как построить диаграмму Парето в Microsoft Excel своими силами.

Вариант 1. Простая диаграмма Парето по готовым данным

Если исходные данные попали к вам в виде подобной таблицы (т.е. уже в готовом виде):

pareto2.png

... то делаем следующее.

Сортируем таблицу по убыванию прибыли (вкладка Данные - Сортировка) и добавляем столбец с формулой для расчета накопленного процента прибыли:

pareto3.png

Эта формула делит суммарную накопленную прибыль с начала списка до текущего товара на общую прибыль по всей таблице. Также добавляем столбец с константой 80% для создания в будущей диаграмме горизонтальной пороговой пунктирной линии:

pareto4.png

Выделяем все данные и строим обычную гистограмму на вкладке Вставка - Гистограмма (Insert - Column Chart). Должно получиться примерно следующее:

pareto5.png

Ряды с процентами на полученной диаграмме нужно отправить по вторичной (правой) оси. Для этого нужно выделить ряды мышью, но это может быть сложно, поскольку их плохо видно на фоне больших столбцов прибыли. Так что лучше воспользоваться для выделения выпадающим списком на вкладке Макет (Layout) или Формат (Format):

pareto6.png

Затем щелкнуть по выделенному ряду правой кнопкой мыши и выбрать команду Формат ряда (Format Data Series) и в появившемся окне выбрать опцию По вторичной оси (Secondary Axis). В итоге наша диаграмма начнет выглядеть так:

pareto7.png

Для рядов Накопленная доля прибыли и Порог надо поменять тип диаграммы со столбцов на линию. Для этого щелкните по каждому из этих рядов и выберите команду Изменить тип диаграммы для ряда (Change Series Chart Type).

Останется выделить горизонтальный ряд Порог и отформатировать его так, чтобы он стал похож на линию отсечки, а не на данные (т.е. убрать маркеры, сделать линию красной пунктирной и т.д.). Все это можно сделать, щелкнув по ряду правой кнопкой мыши и выбрав команду Формат ряда (Format Data Series). Теперь диаграмма примет окончательный вид:

pareto8.png

По ней можно сделать вывод, что 80% прибыли приносят 5 первых товаров, а на все остальные товары правее картофеля приходится только 20% прибыли.

В Excel 2013 можно поступить еще проще - воспользоваться новым встроенным комбинированным типом диаграммы сразу при построении графика:

pareto9.png

Вариант 2. Сводная таблица и сводная диаграмма Парето

Что же делать, если для построения нет готовых данных, а есть только исходная необработанная информация? Предположим, что в начале у нас есть таблица с данными продаж вот такого вида:

pareto10.png

Чтобы построить по ней диаграмму Парето и выяснить какие товары лучше всего продаются, придется сначала проанализировать исходные данные. Проще всего это сделать с помощью сводной таблицы. Выделим любую ячейку в исходной таблице и воспользуемся командой Вставка - Сводная таблица (Insert - Pivot Table). В появившемся промежуточном окне ничего не меняем и жмем ОК, затем в появившейся справа панели переносим мышью поля исходных данных из верхней части в нижние области макета будущей сводной таблицы:

pareto12.png

В итоге должна получиться сводная таблица с суммарной выручкой по каждому товару:

pareto13.png

Сортируем ее по убыванию выручки, установив активную ячейку в столбец Сумма по полю Выручка и используя кнопку сортировки От Я до А (From Z to A) на вкладке Данные (Data).

Теперь нужно добавить вычисляемый столбец с накопленной процентной выручкой. Для этого еще раз перетащите поле Выручка в область Значения (Values) на правой панели, чтобы получить дубликат столбца в сводной. Затем щелкните по клонированному столбцу правой кнопкой мыши и выберите команду Дополнительные вычисления - % от суммы с нарастающим итогом в поле (Show Data As - % Running Total In). В появившемся окне выберите поле Наименование, по которому сверху-вниз будут накапливаться проценты выручки. На выходе должна получиться вот такая таблица:

pareto14.png

Как легко заметить - это уже практически готовая таблица из первой части статьи. В ней только не хватает для полного счастья столбца с пороговым значением 80% для построения линии отсечки в будущей диаграмме. Такой столбец можно легко добавить с помощью вычисляемого поля. Выделите любое число в сводной и затем нажмите на вкладке Главная - Вставить - Вычисляемое поле (Home - Insert - Calculated Field). В открывшемся окне введем имя поля и его формулу (в нашем случае - константу):

pareto15.png

После нажатия на ОК в таблицу добавится третий столбец со значением 80% во всех ячейках и она, наконец, примет требуемый вид. Дальше можно воспользоваться командой Сводная диаграмма (Pivot Chart) на вкладке Параметры (Options) или Анализ (Analysis) и настроить диаграмму совершенно аналогично первому варианту:

pareto16.png

Подсветка ключевых товаров

Для подсветки самых влияющих факторов, т.е. столбцов находящихся левее точки пересечении оранжевой кривой накопленных процентов с горизонтальной линией отсечки в 80% можно использовать подсветку. Для этого придется добавить к таблице еще один столбец с формулой:

pareto17.png

Эта формула выдает на выходе 1, если товар находится левее точки пересечения и 0 - если правее. Затем нужно сделать следующее:

  1. Добавляем новый столбец к диаграмме - проще всего это сделать простым копированием, т.е. выделить столбец Подсветка, скопировать его (Ctrl+C), выделить диаграмму и произвести вставку (Ctrl+V).
  2. Выделяем добавленный ряд и переключаем его по вторичной оси, как было описано выше.
  3. Тип диаграммы для ряда Подсветка меняем на столбцы (гистограмму).
  4. Убираем боковой зазор в свойствах ряда (правой кнопкой мыши по ряду Подсветка - Формат ряда - Боковой зазор), чтобы столбцы слились в единое целое.
  5. Убираем границы столбцов, а заливку делаем полупрозрачной.

На выходе получим вот такую симпатичную подсветку наилучших товаров:

pareto18.png

P.S.

Начиная с версии Excel 2016 диаграмма Парето была добавлена в стандартный набор диаграмм Excel. Теперь, чтобы ее построить, достаточно просто выделить диапазон и на вкладке Вставка (Insert) выбрать соответствующий тип:

pareto19.png

Одно нажатие - и диаграмма готова:

pareto20.png

Ссылки по теме

 

Распределение Парето Википедия

Распределение Парето
Pareto distributionPDF.png
xm=1{\displaystyle x_{\text{m}}=1}

Плотность вероятности

Pareto distributionCDF.png
xm=1{\displaystyle x_{\text{m}}=1}

Функция распределения

Обозначение P(k,xm){\displaystyle P(k,x_{\text{m}})}
Параметры xm>0{\displaystyle x_{\text{m}}>0} — коэффициент масштаба
k>0{\displaystyle k>0}
Носитель x∈[xm;+∞){\displaystyle x\in [x_{\text{m}};+\infty )}
Плотность вероятности kxmkxk+1{\displaystyle {\frac {k\,x_{\text{m}}^{k}}{x^{k+1}}}}
Функция распределения 1−(xmx)k{\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k}}
Математическое ожидание kxmk−1{\displaystyle {\frac {kx_{\text{m}}}{k-1}}}, если k>1{\displaystyle k>1}
Медиана xm2k{\displaystyle x_{\text{m}}{\sqrt[{k}]{2}}}

Распределение Парето - это... Что такое Распределение Парето?

Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений, являющихся степенными. Называется по имени Вилфредо Парето. Встречается при исследовании различных явлений, в частности, социальных, экономических, физических и других. Вне области экономики иногда называется также распределением Брэдфорда.

Определение

Пусть случайная величина такова, что её распределение задаётся равенством:

,

где . Тогда говорят, что имеет распределение Парето с параметрами и . Плотность распределения Парето имеет вид:

Моменты

Моменты случайной величины, имеющей распределение Парето, задаются формулой:

,

откуда в частности:

,
.

Приложения

Вилфредо Парето изначально использовал это распределение для описания распределения благосостояния, а также распределения дохода[1]. Его правило 20 к 80 (которое гласит: 20 % популяции владеет 80 % богатства) однако зависит от конкретной величины k, и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в Cours d'économie politique говорят, что там примерно 30 % населения владеет 70 % общего дохода.

Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры:

  • В лингвистике распределение Парето известно под именем закона Ципфа (для разных языков показатель степени может несколько различаться, также существует небольшое отклонение от простой степенной зависимости у самых частотных слов, однако в целом степенной закон описывает это распределение достаточно хорошо). Частными проявлениями этой закономерности можно считать:
    • Зависимость абсолютной частоты слов (сколько всего раз каждое конкретное слово встретилось) в достаточно длинном тексте от ранга (порядкового номера при упорядочении слов по абсолютной частоте). Степенной характер остается вне зависимости от того, приводятся ли слова к начальной форме или берутся из текста как есть.
    • Аналогичная кривая для популярности имен.
  • Распределение размера населенных пунктов.[2]
  • Распределение размера файла в интернет-траффике по TCP-протоколу.[2]

См. также

Примечания

  1. Pareto, Vilfredo, Cours d’Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino, Librairie Droz, Geneva, 1964, pages 299—345.
  2. 1 2 William J. Reed et al., «The Double Pareto-Lognormal Distribution — A New Parametric Model for Size Distributions», Communications in Statistics : Theory and Methods 33(8), 1733—1753, 2004 p 18 et seq.




Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *