Содержание

Обычный инженерный калькулятор онлайн. ¼ + ½ = ¾.

Обычный калькулятор

Обычный калькулятор позволяет выполнять простые операции на калькуляторе, такие как сложение, вычитание, умножение и деление.

Вы можете воспользоваться быстрым математическим калькулятором

Инженерный калькулятор позволяет выполнять более сложные операции на калькуляторе, такие как синус, косинус, арксинус, арккосинус, тангенс, арктангенс, возведение в степень, экспонента, логарифм, проценты, также есть операции в памяти калькулятора онлайн. Можно набирать прямо с клавиатуры, для этого предварительно кликните на область с калькулятором.

Выполняет простые операции с числами, а также более сложные как
математический калькулятор онлайн.
¼ + ½ = ¾.
Здесь представлены два калькулятора:

  1. Первый вычисляет как обычный
  2. Второй вычисляет как инженерный

Правила относятся к калькулятору, который вычисляет на сервере

Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x

(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция - арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция - арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
exp(x)
Функция - экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
sin(x)
Функция - Синус от x
cos(x)
Функция - Косинус от x
sinh(x)
Функция - Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция - Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция - квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция - Квадрат x
ctg(x)
Функция - Котангенс от x
arcctg(x)
Функция - Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция - Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция - Тангенс от x
tgh(x)
Функция - Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция - кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7. 3
- возведение в степень
x + 7
- сложение
x - 6
- вычитание
15/7
- дробь

Другие функции:
asec(x)
Функция - арксеканс от x
acsc(x)
Функция - арккосеканс от x
sec(x)
Функция - секанс от x
csc(x)
Функция - косеканс от x
floor(x)
Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция - Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция - гиперболический арксеканс от
x
csch(x)
Функция - гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция - гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция - гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:
pi
Число "Пи", которое примерно равно ~3.14159..
e
Число e - основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности - знак для бесконечности

Зачем нужен этот он-лайн калькулятор?

Калькулятор онлайн - чем отличается от обычного калькулятора? Во-первых, обычный калькулятор не удобно носить с собой, во-вторых - уже сейчас интернет есть практически везде, по-этому не составить проблем зайти на наш сайт и воспользоваться онлайн калькулятором.
Калькулятор он-лайн - чем он отличается от java-калькулятора, а также от других калькуляторов для операционных систем? - опять же - мобильность. Если Вы находитесь за другим компьютером, то не надо снова устанавливать

Итак, пользуйтесь этим онлайн!

двухэтажные дроби

Вы искали двухэтажные дроби? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и двухэтажные дроби как решать, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «двухэтажные дроби».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как двухэтажные дроби,двухэтажные дроби как решать,дроби тройные,как избавиться от трехэтажной дроби,как решать двухэтажные дроби,как решать трехэтажные дроби,как решить тройную дробь,многоэтажная дробь,трехэтажная дробь,трехэтажные дроби,трехэтажные дроби как решать,тройные дроби как решать,четырехэтажная дробь,четырехэтажные дроби. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и двухэтажные дроби. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, дроби тройные).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же двухэтажные дроби Онлайн?

Решить задачу двухэтажные дроби вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Калькулятор Citizen SDC-435N

Настольный калькулятор Citizen SDC-435N предназначен для финансовых расчетов. Модель в черно-сером корпусе смотрится стильно и солидно.

Этот калькулятор прекрасно подойдет работникам финансовой сферы - аналитикам, бухгалтерам, банковским служащим. Модель имеет большой 16-разрядный экран, расположенный под углом для комфортного чтения. Для ускорения ввода данных кнопки окрашены в три оттенка серого и сгруппированы по назначению (цифровые, функциональные, служебные).

Калькулятор имеет клавиши скорого набора (двойной и тройной ноль), независимую память, которая сохраняет значения даже при выключении, кнопки для быстрого подсчета процентов, наценки, скидки, налогов. Также специальной кнопкой можно поменять знак числа, задать способ округления и простановки десятичной точки.

Технические характеристики:

Тип: настольный калькулятор

16-разрядный

Цвет: черный

Угол наклона дисплея: фиксированный

Материал лицевой панели: пластик

Поверхность кнопок: пластик

Двойное питание: батарея + солн.питание

Тип батареи: LR-44  x 1 шт.

Автоматическое отключение питания : Есть

Разделитель групп разрядов: по 3 цифры

Размеры (ШхВхГ): 158 х 204 х 31мм

Вес: 234 г

 

Функции:

Независимая память M+, M-, MRC

Клавиши нуля: 0, 00, 000

Кнопка [%]: Есть

Корень квадратный: нет

Кнопка обратной дроби [RV]: нет

Смена знаков [+/-]: Есть

Коррекция ввода [→]: Есть

Конвертер валют [LOCAL]: нет

Расчет налогов [+TAX] [-TAX]: Есть

Расчет прибыли [COST] [SELL] [MARGIN]: нет

Функция расчета наценки и скидки [MU]: Есть

Итоговая сумма [GT]: нет

Функция проверки и коррекции [CHECK] [CORRECT]: нет

Округление: с увеличением, обычное 5/4, с уменьшением

Выбор режима десятичной точки: Есть (A, 0, 2, 3, 4, F)

Добавить комментарий

Наши покупатели уже неоднократно заказывали этот калькулятор и делились с нами информацией, зачем он им необходим, планируют ли они использовать его для учебы или работы.

Прочитайте комментарии - и, возможно, вы откроете для себя новые варианты использования калькулятора:

  • для работы
  • лицей 1502

Записей не найдено.

СтануМастер / Курс Python / Лекция Работа со строками

Строки в Python - упорядоченные последовательности символов, используемые для хранения и представления текстовой информации, поэтому с помощью строк можно работать со всем, что может быть представлено в текстовой форме. Это первая часть о работе со строками, а именно о литералах строк.

Литералы строк

Работа со строками в Python очень удобна. Существует несколько литералов строк, которые мы сейчас и рассмотрим.

Строки в апострофах и в кавычках

S1 = 'Фильм "Анаконда" оказался так себе.'
S2 = "Д'Артаньян вскочил на коня."

Строки в апострофах и в кавычках - одно и то же. Причина наличия двух вариантов в том, чтобы позволить вставлять в литералы строк символы кавычек или апострофов, не используя экранирование.

Экранированные последовательности - служебные символы

Экранированные последовательности позволяют вставить символы, которые сложно ввести с клавиатуры.

Экранированная последовательностьНазначение
\nПеревод строки
\aЗвонок
\bЗабой
\fПеревод страницы
\rВозврат каретки
\tГоризонтальная табуляция
\vВертикальная табуляция
\N{id}Идентификатор ID базы данных Юникода
\uhhhh16-битовый символ Юникода в 16-ричном представлении
\Uhhhh…32-битовый символ Юникода в 32-ричном представлении
\xhh16-ричное значение символа
\ooo8-ричное значение символа
\0Символ Null (не является признаком конца строки)

"Сырые" строки - подавляют экранирование

Если перед открывающей кавычкой стоит символ 'r' (в любом регистре), то механизм экранирования отключается.

S = r'C:\windows\new.txt'

Строки в тройных апострофах или кавычках

Главное достоинство строк в тройных кавычках в том, что их можно использовать для записи многострочных блоков текста. Внутри такой строки возможно присутствие кавычек и апострофов, главное, чтобы не было трех кавычек подряд.

Базовые операции

Конкатенация (сложение) +.

a = 'Привет, '
b = "мир!"
print (a + b)

Дублирование строки *.

print ("ма"*2)

Длина строки (функция len).

print (len('Три'))

Доступ по индексу:

s = 'А роза упала на лапу Азора'
print (s[4]+s[5]+s[-10])
#выведет "зал"

Как видно из примера, в python возможен и доступ по отрицательному индексу, при этом отсчет идет от конца строки.

Оператор извлечения среза: [X:Y]. X – начало среза, а Y – окончание; символ с номером Y в срез не входит. По умолчанию первый индекс равен 0, а второй - длине строки.

s = 'А роза упала на лапу Азора'
print (s[4:8])
#выведет "за у"
print (s[4:-8])
#выведет "за упала на ла"
print (s[:8])
#выведет "А роза у"
print (s[8:])
#выведет "пала на лапу Азора"
print (s[:])
#выведет "А роза упала на лапу Азора"

Кроме того, можно задать шаг, с которым нужно извлекать срез.

s = 'А роза упала на лапу Азора'
print (s[-7:6:-3])
#выведет "улнлу"

Задание 2.1. Разворот слов в предложении

Запросить у пользователя предложение без знаков препинания и вывести строку с развернутыми словами. Пример работы:

Введите предложение: Кота манит ток
Разворот по словам: атоК тинам кот

При вызове методов необходимо помнить, что строки в Python относятся к категории неизменяемых последовательностей, то есть все функции и методы могут лишь создавать новую строку.

s = 'А роза упала на лапу Азора'
s[1] = 'ц'
# python выведет ошибку

Поэтому все строковые методы возвращают новую строку, которую потом следует присвоить переменной.

Таблица "Функции и методы строк"

S.find(str, [start],[end])Поиск подстроки в строке. Возвращает номер первого вхождения или -1
S.rfind(str, [start],[end])Поиск подстроки в строке. Возвращает номер последнего вхождения или -1
S.index(str, [start],[end])Поиск подстроки в строке. Возвращает номер первого вхождения или вызывает ValueError
S.rindex(str, [start],[end])Поиск подстроки в строке. Возвращает номер последнего вхождения или вызывает ValueError
S.replace(шаблон, замена)Замена шаблона
S.split(символ)Разбиение строки по разделителю
S.isdigit()Состоит ли строка из цифр
S.isalpha()Состоит ли строка из букв
S.isalnum()Состоит ли строка из цифр или букв
S.islower()Состоит ли строка из символов в нижнем регистре
S.isupper()Состоит ли строка из символов в верхнем регистре
S.isspace()Состоит ли строка из неотображаемых символов (пробел, символ перевода страницы ('\f'), "новая строка" ('\n'), "перевод каретки" ('\r'), "горизонтальная табуляция" ('\t') и "вертикальная табуляция" ('\v'))
S.istitle()Начинаются ли слова в строке с заглавной буквы
S.upper()Преобразование строки к верхнему регистру
S.lower()Преобразование строки к нижнему регистру
S.startswith(str)Начинается ли строка S с шаблона str
S.endswith(str)Заканчивается ли строка S шаблоном str
S.join(список)Сборка строки из списка с разделителем S
ord(символ)Символ в его код ASCII
chr(число)Код ASCII в символ
S.capitalize()Переводит первый символ строки в верхний регистр, а все остальные в нижний
S.center(width, [fill])Возвращает отцентрованную строку, по краям которой стоит символ fill (пробел по умолчанию)
S.count(str, [start],[end])Возвращает количество непересекающихся вхождений подстроки в диапазоне [начало, конец] (0 и длина строки по умолчанию)
S.expandtabs([tabsize])Возвращает копию строки, в которой все символы табуляции заменяются одним или несколькими пробелами, в зависимости от текущего столбца. Если TabSize не указан, размер табуляции полагается равным 8 пробелам
S.lstrip([chars])Удаление пробельных символов в начале строки
S.rstrip([chars])Удаление пробельных символов в конце строки
S.strip([chars])Удаление пробельных символов в начале и в конце строки
S.partition(шаблон)Возвращает кортеж, содержащий часть перед первым шаблоном, сам шаблон, и часть после шаблона. Если шаблон не найден, возвращается кортеж, содержащий саму строку, а затем две пустых строки
S.rpartition(sep)Возвращает кортеж, содержащий часть перед последним шаблоном, сам шаблон, и часть после шаблона. Если шаблон не найден, возвращается кортеж, содержащий две пустых строки, а затем саму строку
S.swapcase()Переводит символы нижнего регистра в верхний, а верхнего – в нижний
S.title()Первую букву каждого слова переводит в верхний регистр, а все остальные в нижний
S.zfill(width)Делает длину строки не меньшей width, по необходимости заполняя первые символы нулями
S.ljust(width, fillchar=" ")Делает длину строки не меньшей width, по необходимости заполняя последние символы символом fillchar
S.rjust(width, fillchar=" ")Делает длину строки не меньшей width, по необходимости заполняя первые символы символом fillchar
S.format(*args, **kwargs)Форматирование строки

Задание 2.2. Разворот предложения по словам

Запросить у пользователя предложение без знаков препинания и вывести строку с развернутыми словами. Пример работы:

Введите предложение: Завтра идем купаться
Разворот по словам: Купаться идем завтра

Задание 2.3. Самое длинное слово

Запросить у пользователя предложение без знаков препинания и вывести самое длинное слово. Пример работы:

Введите предложение: Завтра идем купаться
Самое длинное слово: купаться

Задание 2.4. Калькулятор дробей

Запросить у пользователя два числа в виде 12#3/5, где до знака # идет целая часть, между # и / - числитель, после / идет знаменатель и операцию. Вывести результат в аналогичном виде. Пример работы:

Первое число (a#b/c): -2#1/2
Второе число (a#b/c): 1#1/3
Операция (+-*/): +
Результат: -2#1/2 + 1#1/3 = -1#1/6

Калькулятор ставок | Калькулятор шансов |

Вы можете рассчитать шансы ставки, которую хотите принять, и определить, какой размер ставки вернется, если она окажется выигрышной, с помощью нашего простого калькулятора ставок. Просто введите тип ставки из вариантов в раскрывающемся меню ниже, введите свою ставку и цены на выбранные вами ставки, а наш калькулятор ставок сделает все остальное за вас. Выберите из дробей или десятичных знаков, как вы хотите ввести коэффициенты.

Выберите тип ставки
Складывать Ставка Затраты Возвращаться Выгода
Одинокий - - -
Двойной - - -
Введите бонусы букмекеров
Резюме

После того, как вы рассчитаете шансы и будете довольны желаемой прибылью, вы можете открыть счет в любом из онлайн-букмекеров, перечисленных на BettingOdds.com, а также получить бесплатную ставку.

Что такое одиночная ставка?

Одиночная ставка - это простая ставка на индивидуальный выбор или исход. Например, Манчестер Юнайтед выиграет лигу.

Что означает ставка "в обе стороны"?

Ставка в обе стороны - это комбинация выигрыша и ставок равного размера. Таким образом, размещение ставки в размере 10 фунтов стерлингов в каждую сторону будет стоить 20 фунтов стерлингов. Очень популярная ставка на спорт с более высокими коэффициентами, прямые ставки на такие вещи, как лучший бомбардир Премьер-лиги или Гранд-националь в скачках. Часть ставки определяется букмекером, у которого вы делаете ставку. Условия размещения могут отличаться от события к событию, от букмекера к букмекеру.

Что такое двойная ставка?

Множественная ставка (или мультивалютная ставка), когда вы делаете одну ставку, но для выигрыша вам нужны оба выбора скачать 1вин на андроид. Например, выигрыш в два раза (две ставки) наЛиверпуль, чтобы выиграть Премьер-лигу, и Лидс, чтобы выиграть Чемпионат .

Что такое тройная ставка?

Как дубль, но три выбора вместо двух.

Что такое экспресс-ставка?

Подобно двойным и тройным, это термин мульти-ставки, используемый для описания ставок, которые имеют четыре или более выбора. Когда дело доходит до футбола, у игроков очень популярна ставка на накопитель (или acca), где вы можете умножить множество различных вариантов, и вместе с этим шансы увеличиваются с увеличением количества выбранных вами вариантов.

Воспользуйтесь калькулятором ставок, чтобы определить, сколько будет возвращать ваш аккумулятор в случае выигрыша. Однако будьте осторожны: чем больше вариантов вы добавите к своей ставке, тем меньше у вас шансов на выигрыш по этой ставке. Обычные аккумуляторы также могут называться четырехкратными, пятикратными, шестикратными и т. Д.

Что такое ставка Lucky 15?

Хорошо, здесь все становится немного сложнее. Ставка на удачу 15 - это когда у вас есть четыре выбора, которые состоят из 15 отдельных ставок. Распределение ставок выглядит следующим образом:

  • 4 одиночных игры
  • 6 двухместных
  • 4 тройных
  • 1 четырехкратный аккумулятор

Только один выигрышный выбор гарантирует возврат, но чем больше победителей, тем больше будет ваша ставка. Используйте калькулятор ставок, чтобы точно узнать, сколько будет возвращено ваша ставка в зависимости от того, какой из выбранных вариантов выиграл.

Что такое ставка Lucky 31?

Как и Lucky 15, Lucky 31 состоит из пяти вариантов, состоящих из 31 отдельной ставки:

  • 5 одиночных игр
  • 10 двухместных
  • 10 тройных
  • 5 четверных
  • 1 пятикратный аккумулятор

Что такое ставка Lucky 63?

Ставка Lucky 63 состоит из шести исходов, состоящих из 63 ставок!

  • 6 одиночных игр
  • 15 двухместных
  • 20 тройных
  • 15 четверных
  • 6 пятикратных
  • 1 шестикратный аккумулятор

Что такое ставка Трикси?

Ставка трикси - это ставка сполным покрытием , что в основном означает, что она покрывает двойные и тройныеставки с тремя исходами. Трикси предполагает четыре ставки на три следующих исхода:

  • 3 двухместных
  • 1 тройка

Что такое ставка янки?

Подобно трикси в том смысле, что это ставка с полным покрытием, на этот раз 11 отдельных ставок на четыре исхода.

  • 6 двухместных
  • 4 тройных
  • 1 четырехкратный

Что такое канадская ставка?

Канадская ставка, также известная как«Супер Янки» , состоит из 26 отдельных ставок на пять исходов.

  • 10 двухместных
  • 10 тройных
  • 5 четверных
  • 1 пятикратный

Что такое ставка Хайнца?

Ставка Хайнц - это 57 отдельных ставок на шесть исходов.

  • 15 двухместных
  • 20 тройных
  • 15 четверных
  • 6 пятикратных
  • 1 шестикратный

Что такое ставка Super Heinz?

Супер Хайнц - это 120 отдельных ставок на семь исходов, разделенных следующим образом.

  • 21 дубль
  • 35 тройных
  • 35 четверных
  • 21 пятикратный
  • 7 шестикратных
  • 1 семикратный аккумулятор.

Доступно множество странных и причудливых ставок, наш калькулятор коэффициентов ставок дает вам возможность определить, сколько поставить и сколько вы можете выиграть на любой из этих и других ставок.

Популярные слоты

Задачи с параметром калькулятор – Telegraph

Задачи с параметром калькулятор

Задачи с параметрами

=== Скачать файл ===

Анализ функции Область определения Область значений Наибольшее значение Наименьшее значение Точки экстремума Точки перегиба Асимптоты функции Чётность функции Период функции Обратная функция Уравнение касательной Уравнение нормали График функции Кривая в декартовых координатах Кривая в полярных координатах Параметрически заданная кривая, 2D Параметрически заданная кривая, 3D Поверхность в декартовых координатах Пределы Производные Производная первого порядка Производная второго порядка Производная третьего порядка Производная неявной функции Частная производная Смешанная частная производная Интегралы Неопределенный интеграл Двойной неопределенный интеграл Тройной неопределенный интеграл Определенный интеграл Двойной определенный интеграл Численное интегрирование Метод левых прямоугольников Метод правых прямоугольников Метод средних прямоугольников Метод трапеций Метод парабол метод Симпсона Метод Буля Приложения интеграла Длина дуги кривой линии Функция в декартовых координатах Функция в полярных координатах Параметрическая функция, 2D Параметрическая функция, 3D Площадь ограниченной фигуры Ряды Сумма числового ряда Сходимость степенного ряда Ряды Тейлора, Маклорена, Лорана Ряды Фурье Матрицы Умножение матриц Определитель матрицы Обратная матрица Ранг матрицы Характеристическое уравнение Уравнения Уравнение любого типа Квадратное уравнение Кубическое уравнение Уравнение с параметром Трансцендентное уравнение Система двух уравнений Система трех уравнений Дифференциальные уравнения Неравенства Функции и константы. Приложение Решение любого типа уравнений онлайн на Math Пошаговое решение уравнений онлайн на сайте Math Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений. Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней. Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия целочисленности, вещественности и т. Вы сможете решить уравнение онлайн моментально и с высокой точностью результата. Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение онлайн означает найти множество всех его решений корней или доказать, что корней нет. Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения. Сайт позволит решить уравнение онлайн. К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней. Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны. В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения. Решить уравнение онлайн на сайте Math Вместо уравнения онлайн мы представим, как то же самое выражение образует линейную зависимость и не только по прямой касательной, но и в самой точке перегиба графика. Этот метод незаменим во все времена изучения предмета. Часто бывает, что решение уравнений приближается к итоговому значению посредством бесконечных чисел и записи векторов. Проверить начальные данные необходимо и в этом суть задания. Иначе локальное условие преобразуется в формулу. Инверсия по прямой от заданной функции, которую вычислит калькулятор уравнений без особой задержки в исполнении, взаимозачету послужит привилегия пространства. Речь пойдет о студентах успеваемости в научной среде. Впрочем, как и все вышесказанное, нам поможет в процессе нахождения и когда вы решите уравнение полностью, то полученный ответ сохраните на концах отрезка прямой. Линии в пространстве пересекаются в точке и эта точка называется пересекаемой линиями. Обозначен интервал на прямой как задано ранее. Высший пост на изучение математики будет опубликован. Назначить значению аргумента от параметрически заданной поверхности и решить уравнение онлайн сможет обозначить принципы продуктивного обращения к функции. Лента Мебиуса, или как её называет бесконечностью, выглядит в форме восьмерки. Это односторонняя поверхность, а не двухсторонняя. По принципу общеизвестному всем мы объективно примем линейные уравнения за базовое обозначение как есть и в области исследования. Лишь два значения последовательно заданных аргументов способны выявить направление вектора. Предположить, что иное решение уравнений онлайн гораздо более, чем просто его решение, обозначает получение на выходе полноценного варианта инварианта. Без комплексного подхода студентам сложно обучиться данному материалу. По-прежнему для каждого особого случая наш удобный и умный калькулятор уравнений онлайн поможет всем в непростую минуту, ведь достаточно лишь указать вводные параметры и система сама рассчитает ответ. Перед тем, как начать вводить данные, нам понадобится инструмент ввода, что можно сделать без особых затруднений. Номер каждой ответной оценки будет квадратное уравнение приводить к нашим выводам, но этого сделать не так просто, потому что легко доказать обратное. Теория, в силу своих особенностей, не подкреплена практическими знаниями. Увидеть калькулятор дробей на стадии опубликования ответа, задача в математике не из легких, поскольку альтернатива записи числа на множестве способствует увеличению роста функции. Впрочем, не сказать про обучение студентов было бы некорректным, поэтому выскажем каждый столько, сколько этого необходимо сделать. Раньше найденное кубическое уравнение по праву будет принадлежать области определения, и содержать в себе пространство числовых значений, а также символьных переменных. Выучив или зазубрив теорему, наши студенты проявят себя только с лучшей стороны, и мы за них будем рады. В отличие от множества пересечений полей, наши уравнения онлайн описываются плоскостью движения по перемножению двух и трех числовых объединенных линий. Множество в математике определяется не однозначно. Лучшее, по мнению студентов, решение - это доведенная до конца запись выражения. Как было сказано научным языком, не входит абстракция символьных выражений в положение вещей, но решение уравнений дает однозначный результат во всех известных случаях. Продолжительность занятия преподавателя складывается из потребностей в этом предложении. Анализ показал как необходимость всех вычислительных приемов во многих сферах, и абсолютно ясно, что калькулятор уравнений незаменимый инструментарий в одаренных руках студента. Лояльный подход к изучению математики обуславливает важность взглядов разных направленностей. Хотите обозначить одну из ключевых теорем и решите уравнение так, в зависимости от ответа которого будет стоять дальнейшая потребность в его применении. Аналитика в данной области набирает все мощный оборот. Начнем с начала и выведем формулу. Пробив уровень возрастания функции, линия по касательной в точке перегиба обязательно приведет к тому, что решить уравнение онлайн будет одним из главных аспектов в построении того самого графика от аргумента функции. Любительский подход имеет право быть применен, если данное условие не противоречит выводам студентов. На задний план выводится именно та подзадача, которая ставит анализ математических условий как линейные уравнения в существующей области определения объекта. Взаимозачет по направлению ортогональности взаимоуменьшает преимущество одинокого абсолютного значения. По модулю решение уравнений онлайн дает столько же решений, если раскрыть скобки сначала со знаком плюс, а затем со знаком минус. В таком случае решений найдется в два раза больше, и результат будет точнее. Стабильный и правильный калькулятор уравнений онлайн есть успех в достижении намеченной цели в поставленной преподавателем задаче. Нужный метод выбрать представляется возможным благодаря существенным отличиям взглядов великих ученых. Полученное квадратное уравнение описывает кривую линий так называемую параболу, а знак определит ее выпуклость в квадратной системе координат. Из уравнения получим и дискриминант, и сами корни по теореме Виета. Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимо на первом этапе. В зависимости от этого будет складываться план дальнейших наших вычислений. Математика при теоретическом подходе пригодится на каждом этапе. Результат обязательно представим как кубическое уравнение, потому что его корни скроем именно в этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе. Любые методы хороши, если они пригодны к поверхностному анализу. Лишние арифметические действия не приведут к погрешности вычислений. С заданной точностью определит ответ. Используя решение уравнений, скажем прямо - найти независимую переменную от заданной функции не так-то просто, особенно в период изучения параллельных линий на бесконечности. В виду исключения необходимость очень очевидна. Из опыта преподавания в институтах наш преподаватель вынес главный урок, на котором были изучены уравнения онлайн в полном математическом смысле. Здесь речь шла о высших усилиях и особых навыках применения теории. В пользу наших выводов не стоит глядеть сквозь призму. До позднего времени считалось, что замкнутое множество стремительно возрастает по области как есть и решение уравнений просто необходимо исследовать. На первом этапе мы не рассмотрели все возможные варианты, но такой подход обоснован как никогда. Лишние действия со скобками оправдывают некоторые продвижения по осям ординат и абсцисс, чего нельзя не заметить невооруженным глазом. В смысле обширного пропорционального возрастания функции есть точка перегиба. В лишний раз докажем как необходимое условие будет применяться на всем промежутке убывания той или иной нисходящей позиции вектора. В условиях замкнутого пространства мы выберем переменную из начального блока нашего скрипта. За отсутствие главного момента силы отвечает система, построенная как базис по трем векторам. Однако калькулятор уравнений вывел, и помогло в нахождении всех членов построенного уравнения, как над поверхностью, так и вдоль параллельных линий. Вокруг начальной точки опишем некую окружность. Таким образом, мы начнем продвигаться вверх по линиям сечений, и касательная опишет окружность по всей ее длине, в результате получим кривую, которая называется эвольвентой. Кстати расскажем об этой кривой немного истории. Дело в том, что исторически в математике не было понятия самой математики в чистом понимании как сегодня. Раньше все ученые занимались одним общим делом, то есть наукой. Позже через несколько столетий, когда научный мир наполнился колоссальным объемом информации, человечество все-таки выделило множество дисциплин. Они до сих пор остались неизменными. И все же каждый год ученые всего мира пытаются доказать, что наука безгранична, и вы не решите уравнение, если не будете обладать знаниями в области естественных наук. Окончательно поставить точку не может быть возможным. Об этом размышлять также бессмысленно, как согревать воздух на улице. Найдем интервал, на котором аргумент при положительном своем значении определит модуль значения в резко возрастающем направлении. Реакция поможет отыскать как минимум три решения, но необходимо будет проверить их. Начнем с того, что нам понадобиться решить уравнение онлайн с помощью уникального сервиса нашего сайта. В особых случаях возьмем книгу по математике и перепроверим наш ответ, а именно посмотрим только ответ и станет все ясно. Вылетит одинаковый проект по искусственному избыточному параллелепипеду. Есть параллелограмм со своими параллельными сторонами, и он объясняет множество принципов и подходов к изучению пространственного отношения восходящего процесса накопления полого пространства в формулах натурального вида. Неоднозначные линейные уравнения показывают зависимость искомой переменной с нашим общим на данный момент времени решением и надо как-то вывести и привести неправильную дробь к нетривиальному случаю. На прямой отметим десять точек и проведем через каждую точку кривую в заданном направлении, и выпуклостью вверх. Без особых трудностей наш калькулятор уравнений представит в таком виде выражение, что его проверка на валидность правил будет очевидна даже в начале записи. Система особых представлений устойчивости для математиков на первом месте, если иного не предусмотрено формулой. На это мы ответим подробным представление доклада на тему изоморфного состояния пластичной системы тел и решение уравнений онлайн опишет движение каждой материальной точки в этой системе. На уровне углубленного исследования понадобится подробно выяснить вопрос об инверсиях как минимум нижнего слоя пространства. По возрастанию на участке разрыва функции мы применим общий метод великолепного исследователя, кстати, нашего земляка, и расскажем ниже о поведении плоскости. В силу сильных характеристик аналитически заданной функции, мы используем только калькулятор уравнений онлайн по назначению в выведенных пределах полномочий. Рассуждая далее, остановим свой обзор на однородности самого уравнения, то есть правая его часть приравнена к нулю. Лишний раз удостоверимся в правильности принятого нами решения по математике. Во избежание получения тривиального решения, внесем некоторые корректировки в начальные условия по задаче на условную устойчивость системы. Составим квадратное уравнение, для которого выпишем по известной всем формуле две записи и найдем отрицательные корни. Если один корень на пять единиц превосходит второй и третий корни, то внесением правок в главный аргумент мы тем самым искажаем начальные условия подзадачи. По своей сути нечто необычное в математике можно всегда описать с точностью до сотых значений положительного числа. В несколько раз калькулятор дробей превосходит свои аналоги на подобных ресурсах в самый лучший момент нагрузки сервера. По поверхности растущего по оси ординат вектора скорости начертим семь линий, изогнутых в противоположные друг другу направления. Соизмеримость назначенного аргумента функции опережает показания счетчика восстановительного баланса. В математике этот феномен представим через кубическое уравнение с мнимыми коэффициентами, а также в биполярном прогрессе убывания линий. Критические точки перепада температуры во много своем значении и продвижении описывают процесс разложения сложной дробной функции на множители. Если вам скажут решите уравнение, не спешите это делать сию минуту, однозначно сначала оцените весь план действий, а уже потом принимайте правильный подход. Легкость в работе очевидна, и в математике то же самое. Все уравнения онлайн представляют собой определенного вида запись из чисел или параметров и переменной, которую нужно определить. Вычислить эту самую переменную, то есть найти конкретные значения или интервалы множества значений, при которых будет выполняться тождество. Напрямую зависят условия начальные и конечные. В общее решение уравнений как правило входят некоторые переменные и константы, задавая которые, мы получим целые семейства решений для данной постановки задачи. В целом это оправдывает вкладываемые усилия по направлению возрастания функциональности пространственного куба со стороной равной сантиметрам. Применить теорему или лемму можно на любом этапе построения ответа. Сайт постепенно выдает калькулятор уравнений при необходимости на любом интервале суммирования произведений показать наименьшее значение. В половине случаев такой шар как полый, не в большей степени отвечает требованиям постановки промежуточного ответа. По крайней мере на оси ординат в направлении убывания векторного представления эта пропорция несомненно будет являться оптимальнее предыдущего выражения. В час, когда по линейным функциям будет проведен полный точечный анализ, мы, по сути, соберем воедино все наши комплексные числа и биполярные пространства плоскостной. Подставив в полученное выражение переменную, вы решите уравнение поэтапно и с высокой точностью дадите максимально развернутый ответ. Лишний раз проверить свои действия в математике будет хорошим тоном со стороны учащегося студента. Пропорция в соотношении дробей зафиксировала целостность результата по всем важным направлениям деятельности нулевого вектора. Тривиальность подтверждается в конце выполненных действий. С простой поставленной задачей у студентов не может возникнуть сложностей, если решить уравнение онлайн в самые кратчайшие периоды времени, но не забываем о всевозможных правилах. Множество подмножеств пересекается в области сходящихся обозначений. В разных случаях произведение не ошибочно распадается на множители. Решить уравнение онлайн вам помогут в нашем первом разделе, посвященном основам математических приемов для значимых разделов для учащихся в ВУЗах и техникумах студентов. Ответные примеры нас не заставят ожидать несколько дней, так как процесс наилучшего взаимодействия векторного анализа с последовательным нахождением решений был запатентован в начале прошлого века. Выходит так, что усилия по взаимосвязям с окружающим коллективом были не напрасными, другое очевидно назрело в первую очередь. Спустя несколько поколений, ученые всего мира заставили поверить в то, что математика это царица наук. Будь-то левый ответ или правый, все равно исчерпывающие слагаемые необходимо записать в три ряда, поскольку в нашем случае речь пойдет однозначно только про векторный анализ свойств матрицы. Нелинейные и линейные уравнения, наряду с биквадратными уравнениями, заняли особый пост в нашей книге про наилучшие методы расчета траектории движения в пространстве всех материальных точек замкнутой системы. Воплотить идею в жизнь нам поможет линейный анализ скалярного произведения трех последовательных векторов. В конце каждой постановки, задача облегчается благодаря внедрениям оптимизированных числовых исключений в разрез выполняемых наложений числовых пространств. Иное суждение не противопоставит найденный ответ в произвольной форме треугольника в окружности. Угол между двумя векторами заключает в себе необходимый процент запаса и решение уравнений онлайн зачастую выявляет некий общий корень уравнения в противовес начальным условиям. Исключение выполняет роль катализатора во всем неизбежном процессе нахождения положительного решения в области определения функции. Если не сказано, что нельзя пользоваться компьютером, то калькулятор уравнений онлайн в самый раз подойдет для ваших трудных задач. Достаточно лишь вписать в правильном формате свои условные данные и наш сервер выдаст в самые кратчайшие сроки полноценный результирующий ответ. Показательная функция возрастает гораздо быстрее, чем линейная. Об этом свидетельствую талмуды умной библиотечной литературы. Произведет вычисление в общем смысле как это бы сделало данное квадратное уравнение с тремя комплексными коэффициентами. Парабола в верхней части полуплоскости характеризует прямолинейное параллельное движение вдоль осей точки. Здесь стоит упомянуть о разности потенциалов в рабочем пространстве тела. Взамен неоптимальному результату, наш калькулятор дробей по праву занимает первую позицию в математическом рейтинге обзора функциональных программ на серверной части. Легкость использования данного сервиса оценят миллионы пользователей сети интернет. Если не знаете, как им воспользоваться, то мы с радостью вам поможем. Еще хотим особо отметить и выделить кубическое уравнение из целого ряда первостепенных школьнических задач, когда необходимо быстро найти его корни и построить график функции на плоскости. Высшие степени воспроизведения - это одна из сложных математических задач в институте и на ее изучение выделяется достаточное количество часов. Как и все линейные уравнения, наши не исключение по многих объективным правилам, взгляните под разными точками зрений, и окажется просто и достаточно выставить начальные условия. Промежуток возрастания совпадает с интервалом выпуклости функции. В основе изучения теории состоят уравнения онлайн из многочисленных разделов по изучению основной дисциплины. По случаю такого подхода в неопределенных задачах, очень просто представить решение уравнений в заданном заранее виде и не только сделать выводы, но и предсказать исход такого положительного решения. Выучить предметную область поможет нам сервис в самых лучших традициях математики, именно так как это принято на Востоке. В лучшие моменты временного интервала похожие задачи множились на общий множитель в десять раз. Изобилием умножений кратных переменных в калькулятор уравнений завелось приумножать качеством, а не количественными переменными таких значений как масса или вес тела. Во избежание случаев дисбаланса материальной системы, нам вполне очевиден вывод трехмерного преобразователя на тривиальном схождении невырожденных математических матриц. Выполните задание и решите уравнение в заданных координатах, поскольку вывод заранее неизвестен, как и неизвестны все переменные, входящие в пост пространственное время. На короткий срок выдвинете общий множитель за рамки круглых скобок и поделите на наибольший общий делитель обе части заранее. Из-под получившегося накрытого подмножества чисел извлечь подробным способом подряд тридцать три точки за короткий период. Постольку поскольку в наилучшем виде решить уравнение онлайн возможно каждому студенту, забегая вперед, скажем одну важную, но ключевую вещь, без которой в дальнейшем будем непросто жить. В прошлом веке великий ученый подметил ряд закономерностей в теории математики. На практике получилось не совсем ожидаемое впечатление от событий. Однако в принципе дел это самое решение уравнений онлайн способствует улучшению понимания и восприятия целостного подхода к изучению и практическому закреплению пройдённого теоретического материала у студентов. На много проще это сделать в свое учебное время. Пример 1 Пример 2 Пример 3 Пример 4 Пример 5.

1 однако результаты опроса

Armani парфюмерная вода acqua di gioia armani

Махи руками с гантелями

Стихи о разлуке человеком

Hyundai creta характеристики отзывы

Центр пластиковых карт

Расписание электричек 63 км

Расчетный счет для ип где выгодней москва

Расписание 20 поликлиники минск

Как упростить выражение 2. Упрощение логических выражений

Алгебраическое выражение в записи которого наряду с действиями сложения, вычитания и умножения используют также деление на буквенные выражения, называется дробным алгебраическим выражением. Таковы, например, выражения

Алгебраической дробью мы называем алгебраическое выражение, имеющее вид частного от деления двух целых алгебраических выражений (например, одночленов или многочленов). Таковы, например, выражения

Третье из выражений ).

Тождественные преобразования дробных алгебраических выражений имеют по большей части своей целью представить их в виде алгебраической дроби. Для отыскания общего знаменателя используется разложение на множители знаменателей дробей - слагаемых с целью отыскания их наименьшего общего кратного. При сокращении алгебраических дробей может нарушаться строгая тождественность выражений: необходимо исключать значения величин, при которых множитель, на который производится сокращение, обращается в нуль.

Приведем примеры тождественных преобразований дробных алгебраических выражений.

Пример 1. Упростить выражение

Все слагаемые можно привести к общему знаменателю (удобно при этом изменить знак в знаменателе последнего слагаемого и знак перед ним):

Наше выражение равно единице при всех значениях кроме этих значениях оно не определено и сокращение дроби незаконно).

Пример 2. Представить в виде алгебраической дроби выражение

Решение. За общий знаменатель можно принять выражение . Находим последовательно:

Упражнения

1. Найти значения алгебраических выражений при указанных значениях параметров:

2. Разложить на множители.

Известно, что в математике никак не обойтись без упрощения выражений. Это необходимо для правильного и быстрого решения самых разнообразных задач, а также различного рода уравнений. Обсуждаемое упрощение подразумевает под собой уменьшение количества действий, необходимых для достижения поставленной цели. В результате вычисления заметным образом облегчаются, а время существенно экономится. Но, как упростить выражение? Для этого используются установленные математические соотношения, часто именуемые формулами, либо же законами, которые позволяют делать выражения гораздо короче, упрощая тем самым расчеты.

Не секрет, что состоянием на сегодняшний день не представляет труда упростить выражение онлайн. Приведем ссылки на некоторые наиболее популярные из них:

Однако обойтись так можно далеко не с каждым выражением. Поэтому рассмотрим подробнее более традиционные методы.

Вынесение общего делителя

В том случае, когда в одном выражении присутствуют одночлены, обладающие одинаковыми множителями, можно находить при них сумму коэффициентов, а потом умножать на общий для них множитель. Эта операция также носит название "вынесения общего делителя". Последовательно используя данный метод, порою можно достаточно существенно упростить выражение. Алгебра ведь вообще, в целом, построена на группировке и перегруппировке множителей и делителей.

Простейшие формулы сокращенного умножения

Одним из следствий ранее описанного метода являются формулы сокращенного умножения. Как упрощать выражения с их помощью гораздо понятнее тем, кто даже не вызубрил эти формулы наизусть, а знает, которым образом они выводятся, то есть, откуда берутся, а соответственно их математическую природу. В принципе, предыдущее высказывание сохраняет свою силу во всей современной математике, начиная от первого класса и заканчивая высшими курсами механико-математических факультетов. Разность квадратов, квадрат разности и суммы, сумма и разность кубов – все эти формулы повсеместно используются в элементарной, а также высшей математике в тех случаях, когда для решения поставленных задач необходимо упростить выражение. Примеры таких преобразований можно без труда найти в любом школьном учебнике по алгебре, либо же, что еще проще, на просторах всемирной сети.

Степени корни

Элементарная математика, если посмотреть на нее в целом, вооружена не так уж и многими способами, при помощи которых можно упростить выражение. Степени и действия с ними, как правило, удаются большинству учащихся сравнительно легко. Только вот у многих современных школьников и студентов возникают немалые трудности, когда необходимо упростить выражение с корнями. И это совершенно безосновательно. Потому как математическая природа корней ничем не отличается от природы тех же степеней, с которыми, как правило, трудностей гораздо меньше. Известно, что квадратный корень от числа, переменной или выражения представляет собой ничто иное как то же число, переменную или выражение в степени "одна вторая", кубический корень – то же самое в степени "одна третья" и так далее по соответствию.

Упрощения выражений с дробями

Рассмотрим также часто встречающийся пример того, как упростить выражение с дробями. В тех случаях, когда выражения представляют собой натуральные дроби, следует выделять из знаменателя и числителя общий множитель, а затем сокращать дробь на него. Когда же одночлены обладают одинаковыми множителями, возведенными в степени, необходимо следить при их суммировании за равенством степеней.

Упрощение простейших тригонометрических выражений

Некоторым особняком стоит разговор о том, как упростить тригонометрическое выражение. Широчайший раздел тригонометрии является, пожалуй, первым этапом, на котором изучающим математику предстоит столкнуться с несколько абстрактными понятиями, задачами и методами их решения. Здесь существуют свои соответствующие формулы, первой из которых является основное тригонометрическое тождество. Имея достаточный математический склад ума, можно проследить планомерное выведение из этого тождества всех основных тригонометрических тождеств и формул, среди которых формулы разности и суммы аргументов, двойных, тройных аргументов, формулы приведения и многие другие. Разумеется, что забывать здесь не стоит и самые первые методы, наподобие вынесения общего множителя, которые в полной мере используются наряду с новыми способами и формулами.

Для подведения итогов, предоставим читателю несколько советов общего характера:

  • Многочлены следует раскладывать на множители, то есть представлять их в форме произведения некоторого количества сомножителей – одночленов и многочленов. Если существует такая возможность, необходимо выносить за скобки общий множитель.
  • Лучше все-таки выучить на память все без исключения формулы сокращенного умножения. Их не так уж и много, но именно они при этом являются основой при упрощении математических выражений. Не стоит также забывать о способе выделения полных квадратов в трехчленах, являющемся обратным действием к одной из формул сокращенного умножения.
  • Все существующие в выражении дроби следует сокращать как можно чаще. При этом не забывайте, что сокращаются только множители. В том случае, когда знаменатель и числитель алгебраических дробей умножается на одно и то же самое число, которое отличается от нуля, значения дробей не меняются.
  • В целом все выражения можно преобразовывать по действиям, либо ж цепочкой. Первый способ более предпочтителен, т.к. результаты промежуточных действий проверяются легче.
  • Достаточно часто в математических выражениях приходиться извлекать корни. Следует помнить, что корни четных степеней могут извлекаться только лишь из неотрицательного числа или выражения, а корни нечетных степеней совершенно из любых выражений или чисел.

Надеемся, наша статья поможет Вам, в дальнейнем, разбираться в математических формулах и научит применять их на практике.

§ 1 Понятие упрощения буквенного выражения

В этом занятии познакомимся с понятием «подобные слагаемые» и на примерах научимся выполнять приведение подобных слагаемых, упрощая, таким образом, буквенные выражения.

Выясним смысл понятия «упрощение». Слово «упрощение» образовано от слова «упрости́ть». Упрости́ть - значит сделать простым, проще. Следовательно, упростить буквенное выражение - это сделать его более коротким, с минимальным количеством действий.

Рассмотрим выражение 9х + 4х. Это буквенное выражение, которое является суммой. Слагаемые здесь представлены в виде произведений числа и буквы. Числовой множитель таких слагаемых называется коэффициентом. В этом выражении коэффициентами будут числа 9 и 4. Обратите внимание, множитель, представленный буквой - одинаковый в обоих слагаемых данной суммы.

Вспомним распределительный закон умножения:

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

В общем виде записывается так: (а + b) ∙ с = ac + bc.

Этот закон выполняется в обе стороны ac + bc = (а + b) ∙ с

Применим его к нашему буквенному выражению: сумма произведений 9х и 4х равна произведению, первый множитель которого равен сумме 9 и 4, второй множитель - х.

9 + 4 = 13, получается 13х.

9х + 4 х = (9 + 4)х = 13х.

Вместо трех действий в выражении осталось одно действие - умножение. Значит, мы сделали наше буквенное выражение проще, т.е. упрости́ли его.

§ 2 Приведение подобных слагаемых

Слагаемые 9х и 4х отличаются только своими коэффициентами - такие слагаемые называют подобными. Буквенная часть у подобных слагаемых одинаковая. К подобным слагаемым относятся также числа и равные слагаемые.

Например, в выражении 9а + 12 - 15 подобными слагаемыми будут числа 12 и -15, а в сумме произведения 12 и 6а, числа 14 и произведения 12 и 6а (12 ∙6а + 14 + 12 ∙ 6а) подобными будут равные слагаемые, представленные произведением 12 и 6а.

Важно отметить, что слагаемые, у которых равны коэффициенты, а буквенные множители различны, подобными не являются, хотя к ним полезно иногда применить распределительный закон умножения, например, сумма произведений 5х и 5у равна произведению числа 5 и суммы х и у

5х + 5y = 5(x + y).

Упрости́м выражение -9а + 15а - 4 + 10.

Подобными слагаемыми в данном случае являются слагаемые -9а и 15а, так как они отличаются только своими коэффициентами. Буквенный множитель у них одинаковый, также подобными являются слагаемые -4 и 10, так как являются числами. Складываем подобные слагаемые:

9а + 15а - 4 + 10

9а + 15а = 6а;

Получаем: 6а + 6.

Упрощая выражение, мы находили суммы подобных слагаемых, в математике это называют приведением подобных слагаемых.

Если приведение подобных слагаемых вызывает затруднение, можно придумать к ним слова и складывать предметы.

Например, рассмотрим выражение:

На каждую букву берем свой предмет: b-яблоко, с-груша, тогда получится: 2 яблока минус 5 груш плюс 8 груш.

Можем из яблок вычесть груши? Конечно, нет. А вот к минус 5 грушам прибавить 8 груш можем.

Приведем подобные слагаемые -5 груш + 8 груш. У подобных слагаемых буквенная часть одинаковая, поэтому при приведении подобных слагаемых достаточно выполнить сложение коэффициентов и к результату дописать буквенную часть:

(-5 + 8) груш - получится 3 груши.

Возвращаясь к нашему буквенному выражению, имеем -5 с + 8с = 3с. Таким образом, после приведения подобных слагаемых получим выражение 2b + 3с.

Итак, на этом занятии Вы познакомились с понятием «подобные слагаемые» и научились упрощать буквенные выражения путем приведения подобных слагаемых.

Список использованной литературы:

  1. Математика. 6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича//автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009.
  2. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И.Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013.
  3. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др./по редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос.акад.наук, Рос.акад.образования. М.: «Просвещение», 2010.
  4. Математика. 6 класс: учеб.для общеобразоват.учреждений/Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.:Мнемозина, 2013.
  5. Математика. 6 кл.:учебник/Г.К. Муравин, О.В. Муравина. – М.: Дрофа, 2014.

Использованные изображения:

Приложение

Решение любого типа уравнений онлайн на сайт для закрепления изученного материала студентами и школьниками.. Решение уравнений онлайн. Уравнения онлайн. Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.. Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Решение уравнения - задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Вы сможете решить уравнение онлайн моментально и с высокой точностью результата. Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными». Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение онлайн означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому. Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Сайт позволит решить уравнение онлайн. К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней. Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны. В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн.. Вместо уравнения онлайн мы представим, как то же самое выражение образует линейную зависимость и не только по прямой касательной, но и в самой точке перегиба графика. Этот метод незаменим во все времена изучения предмета. Часто бывает, что решение уравнений приближается к итоговому значению посредством бесконечных чисел и записи векторов. Проверить начальные данные необходимо и в этом суть задания. Иначе локальное условие преобразуется в формулу. Инверсия по прямой от заданной функции, которую вычислит калькулятор уравнений без особой задержки в исполнении, взаимозачету послужит привилегия пространства. Речь пойдет о студентах успеваемости в научной среде. Впрочем, как и все вышесказанное, нам поможет в процессе нахождения и когда вы решите уравнение полностью, то полученный ответ сохраните на концах отрезка прямой. Линии в пространстве пересекаются в точке и эта точка называется пересекаемой линиями. Обозначен интервал на прямой как задано ранее. Высший пост на изучение математики будет опубликован. Назначить значению аргумента от параметрически заданной поверхности и решить уравнение онлайн сможет обозначить принципы продуктивного обращения к функции. Лента Мебиуса, или как её называет бесконечностью, выглядит в форме восьмерки. Это односторонняя поверхность, а не двухсторонняя. По принципу общеизвестному всем мы объективно примем линейные уравнения за базовое обозначение как есть и в области исследования. Лишь два значения последовательно заданных аргументов способны выявить направление вектора. Предположить, что иное решение уравнений онлайн гораздо более, чем просто его решение, обозначает получение на выходе полноценного варианта инварианта. Без комплексного подхода студентам сложно обучиться данному материалу. По-прежнему для каждого особого случая наш удобный и умный калькулятор уравнений онлайн поможет всем в непростую минуту, ведь достаточно лишь указать вводные параметры и система сама рассчитает ответ. Перед тем, как начать вводить данные, нам понадобится инструмент ввода, что можно сделать без особых затруднений. Номер каждой ответной оценки будет квадратное уравнение приводить к нашим выводам, но этого сделать не так просто, потому что легко доказать обратное. Теория, в силу своих особенностей, не подкреплена практическими знаниями. Увидеть калькулятор дробей на стадии опубликования ответа, задача в математике не из легких, поскольку альтернатива записи числа на множестве способствует увеличению роста функции. Впрочем, не сказать про обучение студентов было бы некорректным, поэтому выскажем каждый столько, сколько этого необходимо сделать. Раньше найденное кубическое уравнение по праву будет принадлежать области определения, и содержать в себе пространство числовых значений, а также символьных переменных. Выучив или зазубрив теорему, наши студенты проявят себя только с лучшей стороны, и мы за них будем рады. В отличие от множества пересечений полей, наши уравнения онлайн описываются плоскостью движения по перемножению двух и трех числовых объединенных линий. Множество в математике определяется не однозначно. Лучшее, по мнению студентов, решение - это доведенная до конца запись выражения. Как было сказано научным языком, не входит абстракция символьных выражений в положение вещей, но решение уравнений дает однозначный результат во всех известных случаях. Продолжительность занятия преподавателя складывается из потребностей в этом предложении. Анализ показал как необходимость всех вычислительных приемов во многих сферах, и абсолютно ясно, что калькулятор уравнений незаменимый инструментарий в одаренных руках студента. Лояльный подход к изучению математики обуславливает важность взглядов разных направленностей. Хотите обозначить одну из ключевых теорем и решите уравнение так, в зависимости от ответа которого будет стоять дальнейшая потребность в его применении. Аналитика в данной области набирает все мощный оборот. Начнем с начала и выведем формулу. Пробив уровень возрастания функции, линия по касательной в точке перегиба обязательно приведет к тому, что решить уравнение онлайн будет одним из главных аспектов в построении того самого графика от аргумента функции. Любительский подход имеет право быть применен, если данное условие не противоречит выводам студентов. На задний план выводится именно та подзадача, которая ставит анализ математических условий как линейные уравнения в существующей области определения объекта. Взаимозачет по направлению ортогональности взаимоуменьшает преимущество одинокого абсолютного значения. По модулю решение уравнений онлайн дает столько же решений, если раскрыть скобки сначала со знаком плюс, а затем со знаком минус. В таком случае решений найдется в два раза больше, и результат будет точнее. Стабильный и правильный калькулятор уравнений онлайн есть успех в достижении намеченной цели в поставленной преподавателем задаче. Нужный метод выбрать представляется возможным благодаря существенным отличиям взглядов великих ученых. Полученное квадратное уравнение описывает кривую линий так называемую параболу, а знак определит ее выпуклость в квадратной системе координат. Из уравнения получим и дискриминант, и сами корни по теореме Виета. Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимо на первом этапе. В зависимости от этого будет складываться план дальнейших наших вычислений. Математика при теоретическом подходе пригодится на каждом этапе. Результат обязательно представим как кубическое уравнение, потому что его корни скроем именно в этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе. Любые методы хороши, если они пригодны к поверхностному анализу. Лишние арифметические действия не приведут к погрешности вычислений. С заданной точностью определит ответ. Используя решение уравнений, скажем прямо - найти независимую переменную от заданной функции не так-то просто, особенно в период изучения параллельных линий на бесконечности. В виду исключения необходимость очень очевидна. Разность полярностей однозначна. Из опыта преподавания в институтах наш преподаватель вынес главный урок, на котором были изучены уравнения онлайн в полном математическом смысле. Здесь речь шла о высших усилиях и особых навыках применения теории. В пользу наших выводов не стоит глядеть сквозь призму. До позднего времени считалось, что замкнутое множество стремительно возрастает по области как есть и решение уравнений просто необходимо исследовать. На первом этапе мы не рассмотрели все возможные варианты, но такой подход обоснован как никогда. Лишние действия со скобками оправдывают некоторые продвижения по осям ординат и абсцисс, чего нельзя не заметить невооруженным глазом. В смысле обширного пропорционального возрастания функции есть точка перегиба. В лишний раз докажем как необходимое условие будет применяться на всем промежутке убывания той или иной нисходящей позиции вектора. В условиях замкнутого пространства мы выберем переменную из начального блока нашего скрипта. За отсутствие главного момента силы отвечает система, построенная как базис по трем векторам. Однако калькулятор уравнений вывел, и помогло в нахождении всех членов построенного уравнения, как над поверхностью, так и вдоль параллельных линий. Вокруг начальной точки опишем некую окружность. Таким образом, мы начнем продвигаться вверх по линиям сечений, и касательная опишет окружность по всей ее длине, в результате получим кривую, которая называется эвольвентой. Кстати расскажем об этой кривой немного истории. Дело в том, что исторически в математике не было понятия самой математики в чистом понимании как сегодня. Раньше все ученые занимались одним общим делом, то есть наукой. Позже через несколько столетий, когда научный мир наполнился колоссальным объемом информации, человечество все-таки выделило множество дисциплин. Они до сих пор остались неизменными. И все же каждый год ученые всего мира пытаются доказать, что наука безгранична, и вы не решите уравнение, если не будете обладать знаниями в области естественных наук. Окончательно поставить точку не может быть возможным. Об этом размышлять также бессмысленно, как согревать воздух на улице. Найдем интервал, на котором аргумент при положительном своем значении определит модуль значения в резко возрастающем направлении. Реакция поможет отыскать как минимум три решения, но необходимо будет проверить их. Начнем с того, что нам понадобиться решить уравнение онлайн с помощью уникального сервиса нашего сайта. Введем обе части заданного уравнения, нажмем на кнопу «РЕШИТЬ» и получим в течение всего нескольких секунд точный ответ. В особых случаях возьмем книгу по математике и перепроверим наш ответ, а именно посмотрим только ответ и станет все ясно. Вылетит одинаковый проект по искусственному избыточному параллелепипеду. Есть параллелограмм со своими параллельными сторонами, и он объясняет множество принципов и подходов к изучению пространственного отношения восходящего процесса накопления полого пространства в формулах натурального вида. Неоднозначные линейные уравнения показывают зависимость искомой переменной с нашим общим на данный момент времени решением и надо как-то вывести и привести неправильную дробь к нетривиальному случаю. На прямой отметим десять точек и проведем через каждую точку кривую в заданном направлении, и выпуклостью вверх. Без особых трудностей наш калькулятор уравнений представит в таком виде выражение, что его проверка на валидность правил будет очевидна даже в начале записи. Система особых представлений устойчивости для математиков на первом месте, если иного не предусмотрено формулой. На это мы ответим подробным представление доклада на тему изоморфного состояния пластичной системы тел и решение уравнений онлайн опишет движение каждой материальной точки в этой системе. На уровне углубленного исследования понадобится подробно выяснить вопрос об инверсиях как минимум нижнего слоя пространства. По возрастанию на участке разрыва функции мы применим общий метод великолепного исследователя, кстати, нашего земляка, и расскажем ниже о поведении плоскости. В силу сильных характеристик аналитически заданной функции, мы используем только калькулятор уравнений онлайн по назначению в выведенных пределах полномочий. Рассуждая далее, остановим свой обзор на однородности самого уравнения, то есть правая его часть приравнена к нулю. Лишний раз удостоверимся в правильности принятого нами решения по математике. Во избежание получения тривиального решения, внесем некоторые корректировки в начальные условия по задаче на условную устойчивость системы. Составим квадратное уравнение, для которого выпишем по известной всем формуле две записи и найдем отрицательные корни. Если один корень на пять единиц превосходит второй и третий корни, то внесением правок в главный аргумент мы тем самым искажаем начальные условия подзадачи. По своей сути нечто необычное в математике можно всегда описать с точностью до сотых значений положительного числа. В несколько раз калькулятор дробей превосходит свои аналоги на подобных ресурсах в самый лучший момент нагрузки сервера. По поверхности растущего по оси ординат вектора скорости начертим семь линий, изогнутых в противоположные друг другу направления. Соизмеримость назначенного аргумента функции опережает показания счетчика восстановительного баланса. В математике этот феномен представим через кубическое уравнение с мнимыми коэффициентами, а также в биполярном прогрессе убывания линий. Критические точки перепада температуры во много своем значении и продвижении описывают процесс разложения сложной дробной функции на множители. Если вам скажут решите уравнение, не спешите это делать сию минуту, однозначно сначала оцените весь план действий, а уже потом принимайте правильный подход. Польза будет непременно. Легкость в работе очевидна, и в математике то же самое. Решить уравнение онлайн. Все уравнения онлайн представляют собой определенного вида запись из чисел или параметров и переменной, которую нужно определить. Вычислить эту самую переменную, то есть найти конкретные значения или интервалы множества значений, при которых будет выполняться тождество. Напрямую зависят условия начальные и конечные. В общее решение уравнений как правило входят некоторые переменные и константы, задавая которые, мы получим целые семейства решений для данной постановки задачи. В целом это оправдывает вкладываемые усилия по направлению возрастания функциональности пространственного куба со стороной равной 100 сантиметрам. Применить теорему или лемму можно на любом этапе построения ответа. Сайт постепенно выдает калькулятор уравнений при необходимости на любом интервале суммирования произведений показать наименьшее значение. В половине случаев такой шар как полый, не в большей степени отвечает требованиям постановки промежуточного ответа. По крайней мере на оси ординат в направлении убывания векторного представления эта пропорция несомненно будет являться оптимальнее предыдущего выражения. В час, когда по линейным функциям будет проведен полный точечный анализ, мы, по сути, соберем воедино все наши комплексные числа и биполярные пространства плоскостной. Подставив в полученное выражение переменную, вы решите уравнение поэтапно и с высокой точностью дадите максимально развернутый ответ. Лишний раз проверить свои действия в математике будет хорошим тоном со стороны учащегося студента. Пропорция в соотношении дробей зафиксировала целостность результата по всем важным направлениям деятельности нулевого вектора. Тривиальность подтверждается в конце выполненных действий. С простой поставленной задачей у студентов не может возникнуть сложностей, если решить уравнение онлайн в самые кратчайшие периоды времени, но не забываем о всевозможных правилах. Множество подмножеств пересекается в области сходящихся обозначений. В разных случаях произведение не ошибочно распадается на множители. Решить уравнение онлайн вам помогут в нашем первом разделе, посвященном основам математических приемов для значимых разделов для учащихся в ВУЗах и техникумах студентов. Ответные примеры нас не заставят ожидать несколько дней, так как процесс наилучшего взаимодействия векторного анализа с последовательным нахождением решений был запатентован в начале прошлого века. Выходит так, что усилия по взаимосвязям с окружающим коллективом были не напрасными, другое очевидно назрело в первую очередь. Спустя несколько поколений, ученые всего мира заставили поверить в то, что математика это царица наук. Будь-то левый ответ или правый, все равно исчерпывающие слагаемые необходимо записать в три ряда, поскольку в нашем случае речь пойдет однозначно только про векторный анализ свойств матрицы. Нелинейные и линейные уравнения, наряду с биквадратными уравнениями, заняли особый пост в нашей книге про наилучшие методы расчета траектории движения в пространстве всех материальных точек замкнутой системы. Воплотить идею в жизнь нам поможет линейный анализ скалярного произведения трех последовательных векторов. В конце каждой постановки, задача облегчается благодаря внедрениям оптимизированных числовых исключений в разрез выполняемых наложений числовых пространств. Иное суждение не противопоставит найденный ответ в произвольной форме треугольника в окружности. Угол между двумя векторами заключает в себе необходимый процент запаса и решение уравнений онлайн зачастую выявляет некий общий корень уравнения в противовес начальным условиям. Исключение выполняет роль катализатора во всем неизбежном процессе нахождения положительного решения в области определения функции. Если не сказано, что нельзя пользоваться компьютером, то калькулятор уравнений онлайн в самый раз подойдет для ваших трудных задач. Достаточно лишь вписать в правильном формате свои условные данные и наш сервер выдаст в самые кратчайшие сроки полноценный результирующий ответ. Показательная функция возрастает гораздо быстрее, чем линейная. Об этом свидетельствую талмуды умной библиотечной литературы. Произведет вычисление в общем смысле как это бы сделало данное квадратное уравнение с тремя комплексными коэффициентами. Парабола в верхней части полуплоскости характеризует прямолинейное параллельное движение вдоль осей точки. Здесь стоит упомянуть о разности потенциалов в рабочем пространстве тела. Взамен неоптимальному результату, наш калькулятор дробей по праву занимает первую позицию в математическом рейтинге обзора функциональных программ на серверной части. Легкость использования данного сервиса оценят миллионы пользователей сети интернет. Если не знаете, как им воспользоваться, то мы с радостью вам поможем. Еще хотим особо отметить и выделить кубическое уравнение из целого ряда первостепенных школьнических задач, когда необходимо быстро найти его корни и построить график функции на плоскости. Высшие степени воспроизведения - это одна из сложных математических задач в институте и на ее изучение выделяется достаточное количество часов. Как и все линейные уравнения, наши не исключение по многих объективным правилам, взгляните под разными точками зрений, и окажется просто и достаточно выставить начальные условия. Промежуток возрастания совпадает с интервалом выпуклости функции. Решение уравнений онлайн. В основе изучения теории состоят уравнения онлайн из многочисленных разделов по изучению основной дисциплины. По случаю такого подхода в неопределенных задачах, очень просто представить решение уравнений в заданном заранее виде и не только сделать выводы, но и предсказать исход такого положительного решения. Выучить предметную область поможет нам сервис в самых лучших традициях математики, именно так как это принято на Востоке. В лучшие моменты временного интервала похожие задачи множились на общий множитель в десять раз. Изобилием умножений кратных переменных в калькулятор уравнений завелось приумножать качеством, а не количественными переменными таких значений как масса или вес тела. Во избежание случаев дисбаланса материальной системы, нам вполне очевиден вывод трехмерного преобразователя на тривиальном схождении невырожденных математических матриц. Выполните задание и решите уравнение в заданных координатах, поскольку вывод заранее неизвестен, как и неизвестны все переменные, входящие в пост пространственное время. На короткий срок выдвинете общий множитель за рамки круглых скобок и поделите на наибольший общий делитель обе части заранее. Из-под получившегося накрытого подмножества чисел извлечь подробным способом подряд тридцать три точки за короткий период. Постольку поскольку в наилучшем виде решить уравнение онлайн возможно каждому студенту, забегая вперед, скажем одну важную, но ключевую вещь, без которой в дальнейшем будем непросто жить. В прошлом веке великий ученый подметил ряд закономерностей в теории математики. На практике получилось не совсем ожидаемое впечатление от событий. Однако в принципе дел это самое решение уравнений онлайн способствует улучшению понимания и восприятия целостного подхода к изучению и практическому закреплению пройдённого теоретического материала у студентов. На много проще это сделать в свое учебное время.

=

Буквенное выражение (или выражение с переменными) — это математическое выражение, которое состоит из чисел, букв и знаков математических операций. Например, следующее выражение является буквенным:

a + b + 4

С помощью буквенных выражений можно записывать законы, формулы, уравнения и функции. Умение манипулировать буквенными выражениями — залог хорошего знания алгебры и высшей математики.

Любая серьезная задача в математике сводится к решению уравнений. А чтобы уметь решать уравнения, нужно уметь работать с буквенными выражениями.

Чтобы работать с буквенными выражениями, нужно хорошо изучить базовую арифметику: сложение, вычитание, умножение, деление, основные законы математики, дроби, действия с дробями, пропорции. И не просто изучить, а понять досконально.

Содержание урока

Переменные

Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях называются переменными . Например, в выражении a+b+4 переменными являются буквы a и b . Если вместо этих переменных подставить любые числа, то буквенное выражение a+b+4 обратится в числовое выражение, значение которого можно будет найти.

Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных . Например, изменим значения переменных a и b . Для изменения значений используется знак равенства

a = 2, b = 3

Мы изменили значения переменных a и b . Переменной a присвоили значение 2 , переменной b присвоили значение 3 . В результате буквенное выражение a+b+4 обращается в обычное числовое выражение 2+3+4 значение которого можно найти:

2 + 3 + 4 = 9

Когда происходит умножение переменных, то они записываются вместе. Например, запись ab означает то же самое, что и запись a×b . Если подставить вместо переменных a и b числа 2 и 3 , то мы получим 6

2 × 3 = 6

Слитно также можно записать умножение числа на выражение в скобках. Например, вместо a×(b + c) можно записать a(b + c) . Применив распределительный закон умножения, получим a(b + c)=ab+ac .

Коэффициенты

В буквенных выражениях часто можно встретить запись, в которой число и переменная записаны вместе, например 3a . На самом деле это короткая запись умножения числа 3 на переменную a и эта запись выглядит как 3 × a .

Другими словами, выражение 3a является произведением числа 3 и переменной a . Число 3 в этом произведении называют коэффициентом . Этот коэффициент показывает во сколько раз будет увеличена переменная a . Данное выражение можно прочитать как «a три раза» или «трижды а «, или «увеличить значение переменной a в три раза», но наиболее часто читается как «три a «

К примеру, если переменная a равна 5 , то значение выражения 3a будет равно 15.

3 × 5 = 15

Говоря простым языком, коэффициент это число, которое стоит перед буквой (перед переменной).

Букв может быть несколько, например 5abc . Здесь коэффициентом является число 5 . Данный коэффициент показывает, что произведение переменных abc увеличивается в пять раз. Это выражение можно прочитать как «abc пять раз» либо «увеличить значение выражения abc в пять раз», либо «пять abc «.

Если вместо вместо переменных abc подставить числа 2, 3 и 4, то значение выражения 5abc будет равно 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Можно мысленно представить, как сначала перемножились числа 2, 3 и 4, и полученное значение увеличилось в пять раз:

Знак коэффициента относится только к коэффициенту, и не относится к переменным.

Рассмотрим выражение −6b . Минус, стоящий перед коэффициентом 6 , относится только к коэффициенту 6 , и не относится к переменной b . Понимание этого факта позволит не ошибаться в будущем со знаками.

Найдем значение выражения −6b при b = 3 .

−6b −6×b . Для наглядности запишем выражение −6b в развёрнутом виде и подставим значение переменной b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Пример 2. Найти значение выражения −6b при b = −5

Запишем выражение −6b в развёрнутом виде

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Пример 3. Найти значение выражения −5a + b при a = 3 и b = 2

−5a + b это короткая форма записи от −5 × a + b , поэтому для наглядности запишем выражение −5×a+b в развёрнутом виде и подставим значения переменных a и b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Иногда буквы записаны без коэффициента, например a или ab . В этом случае коэффициентом является единица:

но единицу по традиции не записывают, поэтому просто пишут a или ab

Если перед буквой стоит минус, то коэффициентом является число −1 . Например, выражение −a на самом деле выглядит как −1a . Это произведение минус единицы и переменной a. Оно получилось следующим образом:

−1 × a = −1a

Здесь кроется небольшой подвох. В выражении −a минус, стоящий перед переменной a на самом деле относится к «невидимой единице», а не к переменной a . Поэтому при решении задач следует быть внимательным.

К примеру, если дано выражение −a и нас просят найти его значение при a = 2 , то в школе мы подставляли двойку вместо переменной a и получали ответ −2 , не особо зацикливаясь на том, как это получалось. На самом деле происходило умножение минус единицы на положительное число 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Если дано выражение −a и требуется найти его значение при a = −2 , то мы подставляем −2 вместо переменной a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Чтобы не допускать ошибок, первое время невидимые единицы можно записывать явно.

Пример 4. Найти значение выражения abc при a=2 , b=3 и c=4

Выражение abc 1×a×b×c. Для наглядности запишем выражение abc a , b и c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Пример 5. Найти значение выражения abc при a=−2 , b=−3 и c=−4

Запишем выражение abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a , b и c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Пример 6. Найти значение выражения abc при a=3 , b=5 и c=7

Выражение abc это короткая форма записи от −1×a×b×c. Для наглядности запишем выражение abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a , b и c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Пример 7. Найти значение выражения abc при a=−2 , b=−4 и c=−3

Запишем выражение abc в развёрнутом виде:

−abc = −1 × a × b × c

Подставим значение переменных a , b и c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Как определить коэффициент

Иногда требуется решить задачу, в которой требуется определить коэффициент выражения. В принципе, данная задача очень проста. Достаточно уметь правильно умножать числа.

Чтобы определить коэффициент в выражении, нужно отдельно перемножить числа, входящие в это выражение, и отдельно перемножить буквы. Получившийся числовой сомножитель и будет коэффициентом.

Пример 1. 7m×5a×(−3)×n

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Это можно отчетливо увидеть, если записать выражение в развёрнутом виде. То есть, произведения 7m и 5a записать в виде 7×m и 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Применим сочетательный закон умножения, который позволяет перемножать сомножители в любом порядке. А именно, отдельно перемножим числа и отдельно перемножим буквы (переменные):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Коэффициент равен −105 . После завершения буквенную часть желательно расположить в алфавитном порядке:

−105amn

Пример 2. Определить коэффициент в выражении: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Коэффициент равен 6.

Пример 3. Определить коэффициент в выражении:

Перемножим отдельно числа и буквы:

Коэффициент равен −1. Обратите внимание, что единица не записана, поскольку коэффициент 1 принято не записывать.

Эти казалось бы простейшие задачи могут сыграть с нами очень злую шутку. Часто выясняется, что знак коэффициента поставлен неверно: либо пропущен минус либо наоборот он поставлен зря. Чтобы избежать этих досадных ошибок, должна быть изучена на хорошем уровне.

Слагаемые в буквенных выражениях

При сложении нескольких чисел получается сумма этих чисел. Числа, которые складывают называют слагаемыми. Слагаемых может быть несколько, например:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Когда выражение состоит из слагаемых, вычислять его намного проще, поскольку складывать легче, чем вычитать. Но в выражении может присутствовать не только сложение, но и вычитание, например:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

В этом выражении числа 3 и 5 являются вычитаемыми, а не слагаемыми. Но нам ничего не мешает, заменить вычитание сложением. Тогда мы снова получим выражение, состоящее из слагаемых:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Не суть, что числа −3 и −5 теперь со знаком минуса. Главное, что все числа в данном выражении соединены знаком сложения, то есть выражение является суммой.

Оба выражения 1 + 2 − 3 + 4 − 5 и 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) равны одному и тому значению — минус единице

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Таким образом, значение выражения не пострадает от того, что мы где-то заменим вычитание сложением.

Заменять вычитание сложением можно и в буквенных выражениях. Например, рассмотрим следующее выражение:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

При любых значениях переменных a, b, c, d и s выражения 7a + 6b − 3c + 2d − 4s и 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) будут равны одному и тому же значению.

Вы должны быть готовы к тому, что учитель в школе или преподаватель в институте может называть слагаемыми даже те числа (или переменные), которые ими не являются.

Например, если на доске будет записана разность a − b , то учитель не будет говорить, что a — это уменьшаемое, а b — вычитаемое. Обе переменные он назовет одним общим словом — слагаемые . А всё потому, что выражение вида a − b математик видит, как сумму a + (−b) . В таком случае выражение становится суммой, а переменные a и (−b) становятся слагаемыми.

Подобные слагаемые

Подобные слагаемые — это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть. Например, рассмотрим выражение 7a + 6b + 2a . Слагаемые 7a и 2a имеют одинаковую буквенную часть — переменную a . Значит слагаемые 7a и 2a являются подобными.

Обычно подобные слагаемые складывают, чтобы упростить выражение или решить какое-нибудь уравнение. Эту операцию называют приведением подобных слагаемых .

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить коэффициенты этих слагаемых, и полученный результат умножить на общую буквенную часть.

Например приведём подобные слагаемые в выражении 3a + 4a + 5a . В данном случае, подобными являются все слагаемые. Сложим их коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть — на переменную a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Подобные слагаемые обычно приводят в уме и результат записывают сразу:

3a + 4a + 5a = 12a

Также, можно рассуждать следующим образом:

Было 3 переменные a , к ним прибавили еще 4 переменные a и ещё 5 переменных a. В итоге получили 12 переменных a

Рассмотрим несколько примеров на приведение подобных слагаемых. Учитывая, что данная тема очень важна, на первых порах будем записывать подробно каждую мелочь. Несмотря на то, что здесь всё очень просто, большинство людей допускают множество ошибок. В основном по невнимательности, а не по незнанию.

Пример 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Сложим коэффициенты в данном выражении и полученный результат умножим на общую буквенную часть:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

Конструкцию (3 + 2 + 6 + 8)×a можно не записывать, поэтому сразу запишем ответ

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Пример 2. Привести подобные слагаемые в выражении 2a + a

Второе слагаемое a записано без коэффициента, но на самом деле перед ним стоит коэффициент 1 , который мы не видим по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:

2a + 1a

Теперь приведем подобные слагаемые. То есть, сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Запишем решение покороче:

2a + a = 3a

2a+a , можно рассуждать и по-другому:

Пример 3. Привести подобные слагаемые в выражении 2a − a

Заменим вычитание сложением:

2a + (−a)

Второе слагаемое (−a) записано без коэффициента, но на самом оно выглядит как (−1a). Коэффициент −1 опять же невидимый по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:

2a + (−1a)

Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Обычно записывают короче:

2a − a = a

Приводя подобные слагаемые в выражении 2a−a можно рассуждать и по-другому:

Было 2 переменные a , вычли одну переменную a , в итоге осталась одна единственная переменная a

Пример 4. Привести подобные слагаемые в выражении 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Запишем решение покороче:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Встречаются выражения, которые содержат несколько различных групп подобных слагаемых. Например, 3a + 3b + 7a + 2b . Для таких выражений справедливы те же правила, что и для остальных, а именно складывание коэффициентов и умножение полученного результата на общую буквенную часть. Но чтобы не допустить ошибок, удобно разные группы слагаемых подчеркнуть разными линиями.

Например, в выражении 3a + 3b + 7a + 2b те слагаемые, которые содержат переменную a , можно подчеркнуть одной линией, а те слагаемые которые содержат переменную b , можно подчеркнуть двумя линиями:

Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть, сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть. Сделать это нужно для обеих групп слагаемых: для слагаемых, содержащих переменную a и для слагаемых содержащих переменную b .

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Опять же повторимся, выражение несложное, и подобные слагаемые можно приводить в уме:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Пример 5. Привести подобные слагаемые в выражении 5a − 6a −7b + b

Заменим вычитание сложение там, где это можно:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Подчеркнём подобные слагаемые разными линиями. Слагаемые, содержащие переменные a подчеркнем одной линией, а слагаемые содержание переменные b , подчеркнем двумя линиями:

Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть, сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Если в выражении содержатся обычные числа без буквенных сомножителей, то они складываются отдельно.

Пример 6. Привести подобные слагаемые в выражении 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Приведем подобные слагаемые. Числа −5 и 7 не имеют буквенных сомножителей, но они являются подобными слагаемыми — их необходимо просто сложить. А слагаемое 2b останется без изменений, поскольку оно единственное в данном выражении, имеющее буквенный сомножитель b, и его не с чем складывать:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Запишем решение покороче:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Слагаемые можно упорядочивать, чтобы те слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, располагались в одной части выражения.

Пример 7. Привести подобные слагаемые в выражении 5t+2x+3x+5t+x

Поскольку выражение является суммой из нескольких слагаемых, это позволяет нам вычислять его в любом порядке. Поэтому слагаемые, содержащие переменную t , можно записать в начале выражения, а слагаемые содержащие переменную x в конце выражения:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Теперь можно привести подобные слагаемые:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Запишем решение покороче:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Сумма противоположных чисел равна нулю. Это правило работает и для буквенных выражений. Если в выражении встретятся одинаковые слагаемые, но с противоположными знаками, то от них можно избавиться на этапе приведения подобных слагаемых. Иными словами, просто вычеркнуть их из выражения, поскольку их сумма равна нулю.

Пример 8. Привести подобные слагаемые в выражении 3t − 4t − 3t + 2t

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Слагаемые 3t и (−3t) являются противоположными. Сумма противоположных слагаемых равна нулю. Если убрать этот ноль из выражения, то значение выражения не изменится, поэтому мы его и уберём. А уберём мы его обычным вычеркиванием слагаемых 3t и (−3t)

В итоге у нас останется выражение (−4t) + 2t . В данном выражении можно привести подобные слагаемые и получить окончательный ответ:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Запишем решение покороче:

Упрощение выражений

«упростите выражение» и далее приводится выражение, которое требуется упростить. Упростить выражение значит сделать его проще и короче.

На самом деле мы уже занимались упрощением выражений, когда сокращали дроби. После сокращения дробь становилась короче и проще для восприятия.

Рассмотрим следующий пример. Упростить выражение .

Это задание буквально можно понять так: «Примените к данному выражению любые допустимые действия, но сделайте его проще» .

В данном случае можно осуществить сокращение дроби, а именно разделить числитель и знаменатель дроби на 2:

Что ещё можно сделать? Можно вычислить полученную дробь . Тогда мы получим десятичную дробь 0,5

В итоге дробь упростилась до 0,5.

Первый вопрос, который нужно себе задавать при решении подобных задач, должен быть «а что можно сделать?» . Потому что есть действия, которые можно делать, и есть действия, которые делать нельзя.

Ещё один важный момент, о котором нужно помнить, заключается в том, что значение выражение не должно измениться после упрощения выражения. Вернемся к выражению . Данное выражение представляет собой деление, которое можно выполнить. Выполнив это деление, мы получаем значение данного выражения, которое равно 0,5

Но мы упростили выражение и получили новое упрощенное выражение . Значение нового упрощенного выражения по-прежнему равно 0,5

Но выражение мы тоже попытались упростить, вычислив его. В итоге получили окончательный ответ 0,5.

Таким образом, как бы мы не упрощали выражение, значение получаемых выражений по-прежнему равно 0,5. Значит упрощение выполнялось верно на каждом этапе. Именно к этому нужно стремиться при упрощении выражений — значение выражения не должно пострадать от наших действий.

Часто требуется упрощать буквенные выражения. Для них справедливы те же правила упрощения, что и для числовых выражений. Можно выполнять любые допустимые действия, лишь бы не изменилось значение выражения.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Упростить выражение 5,21s × t × 2,5

Чтобы упростить данное выражение, можно отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы. Это задание очень похоже на то, которое мы рассматривали, когда учились определять коэффициент:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Таким образом, выражение 5,21s × t × 2,5 упростилось до 13,025st .

Пример 2. Упростить выражение −0,4 × (−6,3b) × 2

Второе произведение (−6,3b) можно перевести в понятный для нас вид, а именно записать в виде (−6,3)×b , затем отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы:

0,4 × (−6,3b) × 2 = 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Таким образом, выражение −0,4 × (−6,3b) × 2 упростилось до 5,04b

Пример 3. Упростить выражение

Распишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:

Теперь отдельно перемножим числа и отдельно перемножим буквы:

Таким образом, выражение упростилось до −abc. Данное решение можно записать покороче:

При упрощении выражений, дроби можно сокращать в процессе решения, а не в самом конце, как мы это делали с обычными дробями. Например, если в ходе решения мы наткнёмся на выражение вида , то вовсе необязательно вычислять числитель и знаменатель и делать что-то вроде этого:

Дробь можно сократить, выбирая по множителю в числителе и в знаменателе и сокращать эти множители на их наибольший общий делитель. Другими словами, использовать , в которой мы не расписываем подробно на что был разделен числитель и знаменатель.

Например, в числителе множитель 12 и в знаменателе множитель 4 можно сократить на 4. Четвёрку храним в уме, а разделив 12 и 4 на эту четвёрку, ответы записываем рядом с этими числами, предварительно зачеркнув их

Теперь можно перемножить получившиеся маленькие множители. В данном случае их немного и можно перемножить в уме:

Со временем можно обнаружить, что решая ту или иную задачу, выражения начинают «толстеть», поэтому желательно приучиться к быстрым вычислениям. То, что можно вычислить в уме, нужно вычислять в уме. То, что можно быстро сократить, нужно быстро сокращать.

Пример 4. Упростить выражение

Таким образом, выражение упростилось до

Пример 5. Упростить выражение

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы:

Таким образом, выражение упростилось до mn .

Пример 6. Упростить выражение

Запишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:

Теперь отдельно перемножим числа и отдельно буквы. Для удобства вычислений десятичную дробь −6,4 и смешанное число можно перевести в обыкновенные дроби:

Таким образом, выражение упростилось до

Решение для данного примера можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:

Пример 7. Упростить выражение

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы. Для удобства вычисления смешанное число и десятичные дроби 0,1 и 0,6 можно перевести в обыкновенные дроби:

Таким образом, выражение упростилось до abcd . Если пропустить подробности, то данное решение можно записать значительно короче:

Обратите внимание на то, как сократилась дробь. Новые множители, которые получаются в результате сокращения предыдущих множителей, тоже допускается сокращать.

Теперь поговорим о том, чего делать нельзя. При упрощении выражений категорически нельзя перемножать числа и буквы, если выражение является суммой, а не произведением.

Например, если требуется упростить выражение 5a + 4b , то нельзя записывать следующим образом:

Это равносильно тому, что если бы нас попросили сложить два числа, а мы бы их перемножали вместо того, чтобы складывать.

При подстановке любых значений переменных a и b выражение 5a +4b обращается в обыкновенное числовое выражение. Предположим, что переменные a и b имеют следующие значения:

a = 2 , b = 3

Тогда значение выражения будет равно 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Сначала выполняется умножение, а затем полученные результаты складывают. А если бы мы попытались упростить данное выражение, перемножив числа и буквы, то получилось бы следующее:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Получается совсем другое значение выражения. В первом случае получилось 22 , во втором случае 120 . Это означает, что упрощение выражения 5a + 4b было выполнено неверно.

После упрощения выражения, его значение не должно изменяться при одних и тех же значениях переменных. Если при подстановке в изначальное выражение любых значений переменных получается одно значение, то после упрощения выражения должно получаться то же самое значение, что и до упрощения.

С выражением 5a + 4b на самом деле ничего делать нельзя. Оно не упрощается.

Если в выражении содержатся подобные слагаемые, то их можно сложить, если нашей целью является упрощение выражения.

Пример 8. Упростить выражение 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

или покороче: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Таким образом, выражение 0,3a−0,4a+a упростилось до 0,9a

Пример 9. Упростить выражение −7,5a − 2,5b + 4a

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

или покороче −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Слагаемое (−2,5b) осталось без изменений, поскольку его не с чем было складывать.

Пример 10. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Коэффициент был для удобства вычисления.

Таким образом, выражение упростилось до

Пример 11. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Таким образом, выражение упростилось до .

В данном примере целесообразнее было бы сложить первый и последний коэффициент в первую очередь. В этом случае мы получили бы короткое решение. Выглядело оно будет следующим образом:

Пример 12. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Таким образом, выражение упростилось до.

Слагаемое осталось без изменения, поскольку его не с чем было складывать.

Данное решение можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:

В коротком решении пропущены этапы замены вычитания сложением и подробная запись, как дроби приводились к общему знаменателю.

Ещё одно различие заключается в том, что в подробном решении ответ выглядит как , а в коротком как . На самом деле, это одно и то же выражение. Различие в том, что в первом случае вычитание заменено сложением, поскольку в начале когда мы записывали решение в подробном виде, мы везде где можно заменили вычитание сложением, и эта замена сохранилась и для ответа.

Тождества. Тождественно равные выражения

После того, как мы упростили любое выражение, оно становится проще и короче. Чтобы проверить, верно ли упрощено выражение, достаточно подставить любые значения переменных сначала в предыдущее выражение, которое требовалось упростить, а затем в новое, которое упростили. Если значение в обоих выражениях будет одинаковым, то выражение упрощено верно.

Рассмотрим простейший пример. Пусть требуется упростить выражение 2a × 7b . Чтобы упростить данное выражение, можно по отдельности перемножить числа и буквы:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Проверим верно ли мы упростили выражение. Для этого подставим любые значения переменных a и b сначала в первое выражение, которое требовалось упростить, а затем во второе, которое упростили.

Пусть значения переменных a , b будут следующими:

a = 4 , b = 5

Подставим их в первое выражение 2a × 7b

Теперь подставим те же значения переменных в выражение, которое получилось в результате упрощения 2a×7b , а именно в выражение 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Видим, что при a=4 и b=5 значение первого выражения 2a×7b и значение второго выражения 14ab равны

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

То же самое произойдет и для любых других значений. Например, пусть a=1 и b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Таким образом, при любых значениях переменных выражения 2a×7b и 14ab равны одному и тому же значению. Такие выражения называют тождественно равными .

Делаем вывод, что между выражениями 2a×7b и 14ab можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению.

2a × 7b = 14ab

Равенством называют любое выражение, которые соединено знаком равенства (=).

А равенство вида 2a×7b = 14ab называют тождеством .

Тождеством называют равенство, которое верно при любых значениях переменных.

Другие примеры тождеств:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Да, законы математики, которые мы изучали, являются тождествами.

Верные числовые равенства также являются тождествами. Например:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Решая сложную задачу, чтобы облегчить себе вычисление, сложное выражение заменяют на более простое выражение, тождественно равное предыдущему. Такую замену называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения .

Например, мы упростили выражение 2a × 7b , и получили более простое выражение 14ab . Это упрощение можно называть тождественным преобразованием.

Часто можно встретить задание, в котором сказано «докажите, что равенство является тождеством» и далее приводится равенство, которое требуется доказать. Обычно это равенство состоит из двух частей: левой и правой части равенства. Наша задача состоит в том, чтобы выполнить тождественные преобразования с одной из частей равенства и получить другую часть. Либо выполнить тождественные преобразования с обеими частями равенства и сделать так, чтобы в обеих частях равенства оказались одинаковые выражения.

Например, докажем, что равенство 0,5a × 5b = 2,5ab является тождеством.

Упростим левую часть этого равенства. Для этого перемножим числа и буквы по отдельности:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

В результате небольшого тождественного преобразования, левая часть равенства стала равна правой части равенства. Значит мы доказали, что равенство 0,5a × 5b = 2,5ab является тождеством.

Из тождественных преобразований мы научились складывать, вычитать, умножать и делить числа, сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, а также упрощать некоторые выражения.

Но это далеко не все тождественные преобразования, которые существуют в математике. Тождественных преобразований намного больше. В будущем мы ещё не раз в этом убедимся.

Задания для самостоятельного решения:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Поделитесь статьей с друзьями:

Похожие статьи

Калькулятор дробей


Калькулятор выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражениями с дробями, объединенными с целыми числами, десятичными знаками и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Решайте задачи с двумя, тремя или более дробями и числами в одном выражении.

Правила для выражений с дробями:
Дроби - используйте косую черту «/» между числителем и знаменателем, т.е.е., для пяти сотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, не забудьте оставить один пробел между целой и дробной частью.
Косая черта разделяет числитель (число над дробной чертой) и знаменатель (число ниже).

Смешанные числа (смешанные дроби или смешанные числа) записываются как ненулевое целое число, разделенное одним пробелом и дробью, то есть 1 2/3 (с тем же знаком). Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта является одновременно знаком для дробной линии и деления, мы рекомендуем использовать двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. Е. 1/2: 3 .

Десятичные числа (десятичные числа) вводятся с десятичной запятой . , и они автоматически конвертируются в дроби - то есть 1,45 .

Двоеточие : и косая черта / являются символом деления. Может использоваться для деления смешанных чисел 1 2/3: 4 3/8 или может использоваться для записи сложных дробей i.1/2
• сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7
• деление целого и дробного числа: 5 ÷ 1/2
• комплексные дроби: 5/8: 2 2/3
• десятичное дробное: 0,625
• Дробь в десятичную: 1/4
• Дробь в проценты: 1/8%
• сравнение дробей: 1/4 2/3
• умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​
• квадратный корень дроби: sqrt (1/16)
• сокращение или упрощение дроби (упрощение) - деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число - эквивалентная дробь: 4/22
• выражение в скобках: 1 / 3 * (1/2 - 3 3/8)
• сложная дробь: 3/4 от 5/7
• кратная дробь: 2/3 от 3/5
• разделите, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2 / 3

Калькулятор следует известным правилам для порядка операций .Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS - круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
BEDMAS - Скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание
BODMAS - Скобки, порядок или, деление, умножение, сложение, вычитание.
GEMDAS - Группирующие символы - скобки () {}, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
Будьте осторожны, всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием .Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны вычисляться слева направо.

Задачи на дроби в словах:

следующие математические задачи »

Калькулятор умножения трех дробей - онлайн-калькулятор умножения трех дробей

Калькулятор умножения на 3 дроби помогает найти конечный продукт

Что такое калькулятор умножения на 3 дроби?

Калькулятор умножения трех дробей - это бесплатный онлайн-инструмент, который поможет вам умножить любые три дроби за несколько секунд.В калькуляторе умножения 3 дробей Cuemath введите значения всех трех дробей и найдите их произведение одним щелчком мыши.

Как пользоваться калькулятором умножения трех дробей?

Выполните следующие простые шаги и научитесь пользоваться калькулятором:

  • Шаг 1: Введите значение всех трех дробей в отведенное место.
  • Шаг 2: Нажмите «Умножить» .
  • Шаг 3: Будет отображено произведение этих трех дробей.
  • Шаг 4: Нажмите «Сброс» , чтобы очистить поле и ввести новый набор дробей.

Как умножать дроби?

Чтобы умножить две или более дроби, выполните следующие действия:

  • Умножаем числители
  • Умножаем знаменатели
  • Уменьшите полученную дробь до наименьшего члена.

Другой способ умножения дробей - это отменить общие множители в числителе и знаменателе, а затем умножить оставшиеся числа.Этот метод более полезен для простого умножения трех и более дробей.

Решенный пример:

Найдите продукт: 2/3 × 3/4 × 4/5.

Раствор:

Один из способов найти произведение трех вышеуказанных дробей - это умножить числители и знаменатели, а затем упростить дробь.

Получаем, 2/3 × 3/4 × 4/5 = 24/60 = 2/5

Другой способ умножить эти три дроби - сначала отменить общие множители в числителе и знаменателе, а затем умножить числа, оставшиеся в числителе и знаменателе.

Итак, мы можем исключить 3 и 4 из числителей и знаменателей, и произведение будет 2/5.

Теперь воспользуйтесь калькулятором и найдите произведение заданного набора дробей:

  • 12/13 × 23/46 × 14/5
  • 3/5 × 7/4 × 5/7
Калькулятор дробей

- eMathHelp

Решение

Ваш ввод: найдите сумму, разность и произведение двух дробей, результат деления; преобразовать их в десятичные числа.

Дроби: $$$ 2 \ frac {3} {7} $$$, $$$ \ frac {5} {9} $$$

Convert $$$ 2 \ frac {3} { 7} $$$ на неправильную дробь.

Перепишите $$$ 2 $$$ как $$$ \ frac {14} {7} $$$

Добавьте дроби: $$$ 2 \ frac {3} {7} = \ frac {14} {7} + \ frac {3} {7} = \ frac {17} {7} $$$ (мы просто складываем числители, так как знаменатели равны).

Итак, $$$ 2 \ frac {3} {7} = \ frac {17} {7} $$$

Сложение дробей

Умножьте числитель и знаменатель первой дроби на $$$ 9 $ $$: $$$ \ frac {17} {7} = \ frac {153} {63} $$$

Умножьте числитель и знаменатель второй дроби на $$$ 7 $$$: $$$ \ frac {5} {9} = \ frac {35} {63} $$$

Добавьте дроби: $$$ \ frac {153} {63} + \ frac {35} {63} = \ frac {188 } {63} $$$ (мы просто добавляем числители, так как знаменатели равны).

Преобразовать в смешанное число.

Перепишите $$$ 188 $$$ как $$$ 2 \ cdot 63 + 62 $$$: $$$ \ frac {188} {63} = \ frac {2 \ cdot 63 + 62} {63} = 2 \ frac {62} {63} $$$

Итак, $$$ \ frac {188} {63} = 2 \ frac {62} {63} $$$

Вычитание дробей

Умножьте числитель и знаменатель первой дроби на $$$ 9 $$$: $$$ \ frac {17} {7} = \ frac {153} {63} $$$

Умножьте числитель и знаменатель второй дроби на $$$ 7 $$$: $$$ \ frac {5} {9} = \ frac {35} {63} $$$

Вычесть дроби: $$$ \ frac {153} {63} - \ frac { 35} {63} = \ frac {118} {63} $$$ (мы просто вычитаем числители, так как знаменатели равны).

Преобразовать в смешанное число.

Перепишите $$$ 118 $$$ как $$$ 1 \ cdot 63 + 55 $$$: $$$ \ frac {118} {63} = \ frac {1 \ cdot 63 + 55} {63} = 1 \ frac {55} {63} $$$

Итак, $$$ \ frac {118} {63} = 1 \ frac {55} {63} $$$

Умножение дробей

Умножаем числители и знаменатели: $$$ \ frac {17} {7} \ cdot \ frac {5} {9} = \ frac {85} {63} $$$

Преобразовать в смешанное число.

Перепишите $$$ 85 $$$ как $$$ 1 \ cdot 63 + 22 $$$: $$$ \ frac {85} {63} = \ frac {1 \ cdot 63 + 22} {63} = 1 \ frac {22} {63} $$$

Итак, $$$ \ frac {85} {63} = 1 \ frac {22} {63} $$$

Деление на дроби

Умножение первой дроби по перевернутой второй дроби: $$$ \ frac {17} {7} \ div \ frac {5} {9} = \ frac {17} {7} \ cdot \ frac {9} {5} = \ frac {153 } {35} $$$

Преобразование в смешанное число.

Перепишите $$$ 153 $$$ как $$$ 4 \ cdot 35 + 13 $$$: $$$ \ frac {153} {35} = \ frac {4 \ cdot 35 + 13} {35} = 4 \ frac {13} {35} $$$

Итак, $$$ \ frac {153} {35} = 4 \ frac {13} {35} $$$

Десятичное представление

Десятичное представление $$$ \ frac {17} {7} $$$ - это $$$ 2.42857142857143 $$$

Десятичное представление $$$ \ frac {5} {9} $$$ - $$$ 0.555555555555556 $$$

Ответ:

$$$ 2 \ frac {3} {7} + \ left (\ frac {5} {9} \ right) = \ frac {188} {63} = 2 \ frac {62} {63 } $$$

$$$ 2 \ frac {3} {7} - \ left (\ frac {5} {9} \ right) = \ frac {118} {63} = 1 \ frac {55} {63 } $$$

$$$ 2 \ frac {3} {7} \ cdot \ left (\ frac {5} {9} \ right) = \ frac {85} {63} = 1 \ frac {22} { 63} $$$

$$$ 2 \ frac {3} {7} \ div \ left (\ frac {5} {9} \ right) = \ frac {153} {35} = 4 \ frac {13} {35} $$$

Десятичное представление $$$ 2 \ frac {3} {7} $$$ равно $$$ 2.42857142857143 $$$

Десятичное представление $$$ \ frac {5} {9} $$$ составляет $$$ 0,555555555555556 $$$

.

Калькулятор умножения дробей. Смешанные / целые числа

С помощью этого калькулятора умножения дробей вы быстро научитесь выполнять умножение дробей, будь то простые дроби , неправильные дроби или смешанные числа . Кроме того, вы узнаете, как умножить дроби на целые числа , и даже умножение трех дробей больше не будет препятствием.Помните, что в нашем инструменте вы можете умножать до пяти дробей - круто, не правда ли? 😍

Если вы хотите проверить, как работают другие операции с дробями, взгляните на наш универсальный калькулятор дробей.

Как умножать дроби?

Умножение дробей - это не ракетостроение, поверьте нам. Вам нужно только уметь умножать числа и упрощать дроби!

Допустим, у вас есть две дроби: 3/5 и 5/8. Как умножить эти дроби?

3 / 5 * 5 / 8 =?

  1. Умножьте числитель на другой числитель, а знаменатель на другой знаменатель :

3 / 5 * 5 / 8 = (3 * 5) / (5 * 8) = 15 / 40

Если бы у вас было больше дробей, чем две, процесс был бы аналогичным: умножьте все числители вместе, чтобы получить новый числитель, и проделайте то же самое со знаменателями, чтобы получить новый знаменатель.

  1. При необходимости упростить дробь :

15 / 40 = 3 / 8

Для уменьшения найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя и разделите их на это значение.

Если вы хотите получить некоторое представление о том, как работает умножение дробей, взгляните на этот рисунок:

Как умножить дробь на целые числа?

Когда дело доходит до умножения дробей на целые числа, это еще проще! Почему? Помните, что вы можете записать каждое целое число в виде дроби , что равно этому числу над 1 .

Как проблема со словами, вы можете представить это как семь человек, пришедших на вашу вечеринку в честь Хэллоуина 🎃👻🕷️. Вы купили три тыквенных пирога и разрезали каждый пирог на шесть равных ломтиков. Теперь вы задаетесь вопросом, хватит ли всем, если каждый из ваших гостей захочет съесть два ломтика тыквенного пирога

  1. Подумайте о проблеме: как записать один кусок пирога дробью? Вы разрезаете каждый пирог на шесть частей и вынимаете из него одну часть. Так будет:

1 / 6

  1. Вы знаете, что каждый гость хочет съесть два ломтика.У вас будет семь гостей (допустим, вы не едите, потому что вы не большой поклонник тыквенного пирога). Итак, вам нужно 7 (гости) умножить на 2/6 (2 части из 6):

7 * 2 / 6 🥧

7 * 2 / 6

  1. Умножая дробь на целое число, мы выполняем ту же операцию, что и при умножении простых дробей: мы умножаем числители на числители и знаменатели на знаменатели.Как мы писали ранее, вы всегда можете написать целое число вместо одного:

7 = 7 / 1

Наконец:

7 * 2 / 6 = 7 / 1 * 2 / 6 = (7 * 2) / (1 * 6) = 14 / 6 = 2 2 / 6 = 2 1 / 3

Итак, удачи! 🍀 Вы можете накормить всех своих голодных гостей тремя пирожками 🥧🥧🥧! Проверьте результат с помощью нашего калькулятора умножения дробей и посмотрите пошаговое решение, если у вас есть какие-либо сомнения.

Как умножить смешанные дроби? Умножение смешанных чисел

Умножение смешанных чисел также несложно, если вы знаете, как умножать простые дроби. Для этого нужен только один дополнительный шаг в начале - изменение со смешанной дроби на неправильную дробь :

.

Допустим, мы хотим перемножить смешанные числа 2 3 / 5 и 1 1 / 6

Для начала превратите смешанную дробь 2 3 / 5 в неправильную дробь:

  1. Умножьте знаменатель на целое число:

2 * 5 = 10

  1. Добавьте числитель к результату:

10 + 3 = 13

Это числитель вашей неправильной дроби.

  1. Знаменатель остается тем же , что и в исходном смешанном числе. В нашем примере это 5 :

13 / 5

Повторите процедуру для 1 1 / 6 . Вы получите эквивалент смешанного числа в неправильной дробной форме:

.

1 1 / 6 = ((6 * 1) + 1) / 6 = 7 / 6

Затем умножьте дроби как обычно:

13 / 5 * 7 / 6 = (13 * 7) / (5 * 6) = 91 / 30

Вы также можете изменить результат обратно с неправильной дроби на смешанное число:

91 / 30 = 3 1 / 30

Умножение дробей на смешанные числа

Задача умножения дробей на смешанные числа очень похожа на проблему, с которой мы только что имели дело - умножение смешанных чисел.На этот раз одна ваша дробь представлена ​​в простой форме, а другая - в форме смешанной дроби.

Решение простое: вам нужно оставить вашу простую дробь в ее текущей форме , и, опять же, изменить смешанную дробь на неправильную форму . Затем, следуя стандартной процедуре, вы получите результат умножения дробей на смешанные числа.

Пример 1: умножение трех дробей

После такого тщательного прочтения мы уверены, что вы знаете все об умножении дробей: как умножать простые дроби, как умножать дроби на целые числа и как умножать смешанные дроби.Итак, самое время проверить , как работает наш калькулятор умножающих дробей!

Давайте выберем сценарий, о котором мы раньше не говорили - попробуем умножить на три дроби : 3 / 4 , 1 5 / 6 и - 2 / 7 . Обратите внимание, что мы также умножаем дроби на смешанные числа, так как у нас есть одна дробь в смешанной форме. Итак, как рассчитать это с помощью нашего инструмента?

  1. Выберите вид дроби. Так как у вас есть одна дробь в смешанной форме, выберите этот вариант.
  2. Введите данные :
  • Для первой дроби оставьте поле целое число пустым (или введите 0), введите 3 в поле числителя и 4 в знаменатель один;
  • Для второй дроби введите 1 как целое число, 5 в качестве числителя и 6 в качестве знаменателя; и
  • Для третьей дроби снова оставьте поле целого числа пустым, введите -2 в поле числителя и 7 в поле знаменателя.
  1. И все, калькулятор умножения дробей покажет вам результат умножения трех дробей! Это - 11 / 28 .
  2. Чтобы понять процесс, ознакомьтесь с пошаговым решением .

Пример 2: умножение дроби на целое число

Давайте проанализируем другой пример: умножение дроби 7 / 8 на 13 , которое, конечно же, является целым числом.

  1. Выберите тип дроби из раскрывающегося списка. Выберите смешанную форму, так как вам понадобится целая дробная часть.

  2. Введите дроби :

  • Первый числитель 7, знаменатель 8 (вся часть остается пустой)
  • В целой части второй дроби введите 13, а дробную часть оставьте пустой
  1. Калькулятор умножения дробей отображает результат: 91 / 8 , что составляет 11 3 / 8 в форме смешанного числа.Очень просто!

Вы также можете использовать форму простой дроби, изменив целое число на 13 / 1 😎

РАЗДЕЛ

РАЗДЕЛЕНИЕ

Чтобы разделить три или более дроби, заполните следующие три шага.

1.
Измените знаки на знак и инвертируйте дроби справа от знаков.
2.
Умножьте числители.
3.
Умножьте знаменатели.
4.
Уменьшите результаты. (См. Правило 10)
а.
Разложите на множители числители.
б.
Разложите на множители произведение знаменателей.
г.
Найдите дроби со значением 1.

Пример: Вычислить и уменьшить ответ.
Ответ: Ответ.
Решение: Измените знаки деления на знаки умножения и инвертируйте дроби справа от знаков.

Умножьте числители и знаменатели, но оставьте их в факторизованная форма.

Разделите числитель и знаменатель на множители и найдите дроби. которые имеют значение 1.

Проверить: Теперь проверьте себя с помощью калькулятора что ваш ответ правильный.Используйте на калькуляторе следующие шаги: Теперь посчитайте 10, разделив на 27. Если вы правы, ответы будут одинаковыми (эквивалентными), и вы успешно выполнили задачу деления на три дроби.

Если вас интересует другой пример, нажмите на слово Пример.

Решите следующие задачи и нажмите «Ответить», чтобы проверить свое полученные результаты.

Задача 1: Рассчитайте и сократите свой ответ.

Ответ

Задача 2: Рассчитайте и сократите свой ответ.

Ответ

Задача 3: Рассчитайте и сократите свой ответ.

Ответ

Задача 4: Рассчитайте и сократите свой ответ.

Ответ

Задача 5: Рассчитайте и сократите свой ответ.

Ответ

Вернуться к простому меню Фракции Домашняя страница S.O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Нэнси Маркус

Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC.Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. - П.О. Box 12395 - El Paso TX 79913 - США
пользователя онлайн за последний час

Fraction Calculator Plus Обзор бесплатного приложения: используйте инновационную тройную клавиатуру для простого вычисления дробей 2021

Введение

Если вы когда-нибудь хотели сложить, вычесть, умножить, разделить или сделать что-нибудь еще с дробями, вы сможете сэкономить кучу времени с помощью этого фантастического калькулятора.Он имеет уникальную тройную раскладку клавиатуры, поэтому вы можете легко ввести числитель, знаменатель и целые числа за считанные секунды.

Запуская это приложение-калькулятор в первый раз, я был немного сбит с толку относительно того, что именно я видел, но предоставленные инструкции невероятно ясны, и мне потребовалось около 10 секунд, чтобы выяснить, что делает каждая клавиша.

Это высокоэффективный математический калькулятор, который прост в использовании и должен сделать вычисление дробей детской забавой.

Продолжайте читать наш обзор бесплатного приложения «Калькулятор дробей плюс», чтобы узнать, является ли оно одним из лучших приложений-калькуляторов для любителей математики на iPhone.

Тройная клавиатура для максимального удобства использования

Fraction Calculator Plus Free похож на стандартный виджет калькулятора iOS, но серьезно доработан, чтобы делать вычисления дробей быстрыми и легкими.

Все в этом приложении кричит о простоте.При первом запуске приложения вы увидите некоторые инструкции, наложенные на интерфейс калькулятора, и разработчик проделал огромную работу, чтобы суммировать, извините за каламбур, функциональность всего примерно в 20 словах.

Если вы застряли в какой-либо момент при использовании Калькулятора дробей Plus Free, вы также можете нажать «i» в верхнем левом углу, чтобы снова вызвать инструкции, но я очень сомневаюсь, что они вам понадобятся после первой попытки. .

Дроби никогда не были проще

Клавиатура слева позволяет вводить целые числа в отрицательном или положительном формате.Это достаточно просто, но настоящая суть этого приложения заключается в клавиатуре справа.

С правой стороны есть две клавиатуры меньшего размера, которые вы можете использовать для генерации дробей. Верхний позволяет ввести числитель или число над линией дроби, а нижний позволяет ввести знаменатель или число под дробной чертой.

Вот и все. Внизу вы найдете все стандартные символы сложения, вычитания, умножения, деления и равенства, а вверху также есть кнопка «плюс / минус».

У вас есть все необходимое для эффективного управления дробями и вычисления основных сумм.

Плюсы и минусы

Плюсы

  • Вычисление дробей, а также обработка целых чисел
  • Тройная раскладка клавиатуры для максимального удобства использования
  • Предоставляются четкие инструкции
  • Все функции на одном удобном экране

Минусы

  • Ничего плохого не скажешь об этом приложении

Заключительные слова

Хотя, как правило, мне гораздо больше нравится просматривать более мультимедийные приложения или игры, я должен признать, что всегда приятно видеть качество, надежность и простоту в таком инструменте, как этот.

Fraction Calculator Plus Free - отличный пример того, как разработчик определяет потребность и заполняет этот пробел, не добавляя тонны ненужных функций или загроможденного интерфейса.

Вместо этого у вас есть удивительно простой и интуитивно понятный макет с четкими инструкциями, так что вы точно знаете, как начать работу в течение нескольких секунд. Я очень рекомендую это приложение.

3 простых шага для деления дробей с примерами, рабочими листами и многим другим

Обучение ваших учеников тому, как делить дроби может быть таким же простым, как обучение умножению... как только вы узнаете все маленькие хитрости, чтобы получить правильный ответ.

Но - как и в случае с любой математической концепцией - когда вы преподаете деление, вы не хотите, чтобы ваши ученики просто решали задачу. Вы хотите, чтобы они поняли, что происходит в каждом вопросе.

Но в том-то и дело. Трудно заставить их понять деление дробей, если вы сами этого не понимаете. Мы тоже немного запутались в этом вопросе. Вот почему мы рассмотрели лучшие инструменты и самые простые способы убедиться, что ваш класс понимает ключевые концепции деления дробей .Обратите пристальное внимание, и к концу этой статьи вы станете полностью экипированным и невероятно уверенным мастером деления дробей.

Как работает деление дробей

Обучение студентов тому, как делить дроби, является частью Общих государственных стандартов математической практики. Одна из самых ценных вещей, которую нужно научить ваших студентов при делении дробей, - это то, что означает ответ. Взгляните на пример ниже:

½ ÷ ⅙ = 3

Почему число в решении больше, чем количество используемых дробей?

Когда вы делите дробь, вы спрашиваете, сколько групп делителя (вторая дробь) можно найти в дивиденде (первая дробь).

Для приведенного выше уравнения мы спрашиваем, сколько ⅙ появляется в ½. Представьте приведенное в качестве примера уравнение в виде торта. У тебя осталась половина торта. Если каждая порция торта составляет от целого, сколько порций у вас осталось? Как видите, у вас осталось три порции торта!

Как видите, у вас осталось три порции торта!

Как разделить дроби за 3 простых шага

Если вы просто разделите дроби, как при делении обычной математической задачи, вы, скорее всего, создадите несколько сложных дробей и получите что-то похожее на это:

Кредит: Математический клуб Майка

Это не совсем простой процесс.

К счастью, вы можете воспользоваться ярлыком, который значительно упрощает деление дробей. Вы можете решить большинство проблем с делением, выполнив следующие три шага:

  1. Переверните (или инвертируйте) делитель на обратный
  2. Замените знак деления на символ умножения и умножьте
  3. Упростите ваш ответ, если возможно

По сути, умножая дроби, вы умножаете первую дробь на обратную величину второй дроби.

Но в этом руководстве мы рассмотрим это более подробно, чтобы упростить деление на дроби и помочь вам избежать сложных дробей.

Шаг 1: Преобразуйте делитель в обратный

Обратный - это то, на что вы умножаете число, чтобы получить значение единицы. Если вы хотите превратить два в один посредством умножения, вам нужно умножить его на 0,5. В дробной форме это выглядит так:

²⁄₁ × ½ = 1

Чтобы найти обратную дробь, вы просто переворачиваете числа.Знаменатель становится числителем и наоборот.

Еще раз взгляните на пример уравнения:

½ ÷ ⅙ =?

Первый шаг к решению проблемы - превратить наш делитель,, в обратную величину.

⅙ → ⁶⁄₁

Шаг 2: Измените знак деления на символ умножения и умножьте

Деление и умножение - это противоположностей друг другу. Когда вы создаете обратное число, вы также создаете его противоположность. В задаче деления, когда вы превращаете делитель в обратную величину, вам также необходимо изменить уравнение с деления на умножение.

Теперь, когда вы нашли величину, обратную вашему делителю, вы можете изменить уравнение с деления на умножение.

½ ÷ ⅙ =? → ½ × ⁶⁄₁ =?

У нас есть подробное руководство по умножению дробей, но вот краткое руководство:

  1. Умножьте числители, чтобы получить новый числитель
  2. Умножьте знаменатели, чтобы получить новый знаменатель
  3. Упростите окончательную дробь, если возможно

Для примера уравнения вам нужно решить две задачи:

1 × 6 = 6 2 × 1 = 2 ½ × ⁄₁ = ⁶⁄₂

Теперь вы готовы к упрощению, чтобы получить окончательный ответ. !

Шаг 3. По возможности упростите ответ

Дроби символизируют часть целого.Это означает, что многие дроби представляют одно и то же значение, так почему бы не сделать дробь как можно более простой?

Например, вы почти никогда не говорите пять десятых или ⁄₁₀. Вместо этого вы упрощаете это до половины или ½.

Чтобы преобразовать дробь в ее простейшую форму, вы разделите числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель . Наибольший общий делитель в ⁄ - пять. Разделив оба числа на пять, вы получите ½.

В примере вопроса наибольший общий делитель ⁄₂ равен двум.Это превратит ваше решение из ⁄₂ в ³⁄₁, что равносильно слову три.

Следовательно:

½ ÷ ⅙ =? → ½ × ⁶⁄₁ = ⁶⁄₂ → ³⁄₁ → 3

Создание обратной величины и умножение уравнения вместо деления позволяет пропустить несколько шагов в уравнении. Это ярлык, который значительно упростит жизнь вашим ученикам!

Примеры деления на дроби

Трехэтапная стратегия отлично подходит для задач с основными дробями, но что происходит, когда вы сталкиваетесь с целыми числами, смешанными дробями, неправильными дробями и задачами на основе слов?

Процесс по большей части остается неизменным, но в зависимости от типа проблемы может быть еще пара шагов.

Давайте рассмотрим несколько примеров различных типов проблем:

Как разделить неправильные дроби

Кредит: edgalaxy

Неправильная дробь - это когда у вас есть числитель со значением, которое на больше знаменателя . Вид этих дробей может вызвать недоумение, но порядок действий не меняется.

Пример 1 :

⅓ ÷ ⁶⁄₅ =? → ⅓ × ⅚ = ⁵⁄₁₈

Пример 2 :

⁷⁄₆ ÷ ¾ =? → ⁷⁄₆ × ⁴⁄₃ = ²⁸⁄₁₈ → ¹⁴⁄₉ → 1 ⁵⁄₉

Независимо от того, где находится неправильная дробь, вы все равно переворачиваете делитель на обратную, а затем умножаете две дроби.

Как разделить смешанные дроби

Кредит: Fabulous Finch Facts

Смешанная дробь - это когда у вас есть целое число вместе с дробью. Например, 2 ½ будет считаться смешанной дробью. Как разделить смешанную дробь?

Измените вашу смешанную дробь на неправильную дробь и затем примените трехэтапную стратегию. Для этого умножьте целое число на знаменатель. Затем возьмите это значение и добавьте его в числитель. 2 ½ изменится на ⁄₂.

Пример 1:

3 ⅓ ÷ ⅖ =? → ¹⁰⁄₃ ÷ ⅖ =? → ¹⁰⁄₃ × ⁵⁄₂ = ⁵⁰⁄₆ → ²⁵⁄₃ → 8 ⅓

Пример 2:

¼ ÷ 2 ⅙ =? → ¼ ÷ ¹³⁄₆ =? → ¼ × ⁶⁄₁₃ = ⁶⁄₅₂ → ³⁄₂₆

Пример 3:

2 ½ ÷ 1 ⅓ =? → ⁵⁄₂ ÷ ⁴⁄₃ =? → ⁵⁄₂ × ¾ = ¹⁵⁄₈ → 1 ⅞

Как разделить дроби на целые числа

Кредит: PBS LearningMedia

Вопросы с целыми числами аналогичны задачам со смешанными дробями.Прежде чем приступить к делению, вам нужно превратить целое число в дробь.

Чтобы превратить целое число в дробь, сделайте в числителе целое число, а в знаменателе сделайте единицу.

3 → ³⁄₁

После того, как целое число превратится в дробь, вы можете продолжить решение проблемы с помощью трехэтапной стратегии.

Пример:

⅓ ÷ 3 =? → ⅓ ÷ ³⁄₁ =? → ⅓ × ⅓ = ⅑

Как разделить дроби с одинаковым знаменателем

Когда у вас одинаковый знаменатель, нет необходимости находить обратную или умножать.Вы можете просто разделить дроби, чтобы получить ответ. Знаменатели уравняют друг друга и дадут вам единицу.

Любую дробь со знаминателем единицы можно упростить до числителя.

Пример 1:

⅘ ÷ ⅖ = ²⁄₁ → 2

Пример 2:

⅓ ÷ ⅔ = ½ / 1 → ½

Проблемы со словами при разделении дробей

Проблемы со словами могут быть сложными, потому что вы должны научить своих учеников понимать, какая ценность становится дивидендом, а какая - делителем.

Как и во всех задачах с делением, в задаче со словами вы пытаетесь выяснить, сколько групп из одного числа можно найти в другом.

Лучший способ понять, какое число есть, на примере.

Есть 25 ½ километровый участок шоссе, который необходимо отремонтировать. Строительная бригада может ремонтировать 4 ¼ километра дорог в неделю. Сколько недель потребуется на ремонт трассы?

В этом уравнении вы ищите количество недель, необходимое для ремонта шоссе.

Чтобы получить этот ответ, вам нужно увидеть, сколько групп по 4 (количество шоссе, которое можно ремонтировать в неделю) могут уместиться в 25 ½ (общая длина шоссе, которое необходимо отремонтировать). Таким образом, 25 ½ будут вашим дивидендом, а 4 ¼ - вашим делителем!

После того, как вы укажете номера в правильных местах, вы обнаружите, что на ремонт шоссе уйдет шесть недель.

Чтобы убедиться, что ваши ученики следят за вами, вы можете вместе поработать над задачами со словом, а затем попросить их поднять руку, если они думают, что одно число является делимым.Затем снова спросите, считают ли они, что другое число является дивидендом.

Затем выберите ученика, который объяснит, почему одно число является делимым, а другое - делителем. Это не только привлечет внимание студентов, но и даст вам возможность увидеть, как студенты обрабатывают материал, который вы преподаете!

Как Prodigy может помочь вам научить делить дроби

Prodigy Math Game поможет вам научить делить дроби, отслеживать успеваемость ваших учеников и задавать конкретные вопросы для подготовки вашего класса к стандартизированному тестированию - все бесплатно .

Математическая игра заставляет ваших учеников учиться - и большую часть времени они даже не подозревают, что проходят тестирование. У вас есть несколько вариантов, в том числе возможность сосредоточить внутриигровые вопросы по темам, которые вы преподаете, актуальную статистику и отчеты о прогрессе.

Вот как вы можете использовать Prodigy в своем классе, чтобы:

Prodigy работает быстрее, чем рабочие листы, поскольку все «отметки» выполняются за вас - и в режиме реального времени. Вы можете просматривать отчеты по всему классу и видеть, с какими темами сталкиваются разные ученики!

Вы также можете создавать задания для каждого учащегося в зависимости от их конкретных потребностей и стилей обучения.Всем вашим ученикам будет предоставлена ​​возможность попрактиковаться в вопросах, с которыми у них возникнут проблемы, и улучшить свои общие математические навыки.

Когда время тестирования не за горами, вы можете создать практический тест в игре, чтобы увидеть, нужно ли более подробно изучить какие-либо темы в классе.

Prodigy Math Game всегда бесплатна для учителей.

Рабочие листы, которые могут помочь с делением дробей

Чтобы убедиться, что ключевые концепции передаются при обучении делению дробей, вы также можете использовать рабочие листы для своего класса.Вы можете поместить в рабочий лист набор различных вопросов, чтобы увидеть, что учащиеся понимают и с чем они борются.

Единственным недостатком рабочих листов является то, что их разметка может занять много времени. Чем больше времени уйдет на отметку, тем больше времени потребуется, чтобы увидеть, с чем вашим ученикам нужна помощь.

Вот несколько веб-сайтов, на которых можно получить рабочие листы, которые вы можете попробовать в своем классе:

1. DadsWorksheets.com

DadsWorksheets.com дает вам широкий выбор рабочих листов на выбор в зависимости от темы, над которой вы работаете .Все рабочие листы снабжены ключом ответа, чтобы упростить задачу. Все, что они предлагают, можно загрузить и распечатать прямо с веб-сайта.

2. Common Core Sheets

Common Core Sheets выводит ваши рабочие листы на новый уровень, позволяя настраивать ваши уроки. Вы можете выбрать типы вопросов, которые хотите отображать на своих листах. Вы также можете выбрать, хотите ли вы, чтобы дроби были упрощены или преобразованы в смешанные числа для ответов.

Конечный продукт дает вам два рабочих листа.В первом есть только вопросы, а во втором - все ответы, включая процесс получения решения.

3. K5 Learning

K5 Learning предоставляет рабочие листы для классов от детского сада до пятого класса. Они охватывают множество тем, представленных в учебной программе, и для каждого предмета есть несколько рабочих листов. PDF-файл, который вы можете скачать с их веб-сайта, включает в себя рабочие листы и ключ ответа.

Калькулятор деления дробей

Когда ваши ученики учатся делить дроби, вы можете показать им калькулятор дробей.Это онлайн-инструменты для быстрого решения задач дроби. Они отлично подходят для проверки ваших ответов, но будьте осторожны, показывая эти инструменты своему классу.

Калькуляторы дробей можно использовать, когда учащиеся выполняют домашнее задание, но вы не хотите, чтобы они полагались на них при решении вопросов, иначе они ничего не узнают. Если вы используете Calculator.net, они покажут вам все различных шагов, которые необходимо предпринять для решения проблемы!

Заключительные мысли о том, как делить дроби

При обучении делению дробей скажите своим ученикам, что они пытаются найти, сколько делителей можно найти в дивиденде.




Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *