Содержание

Дюрация облигаций – в чем ее суть?

С одной стороны, дюрация облигаций это показатель, дающий возможность понять, через какой промежуток времени человек получит свои инвестиции обратно. Например, имеется облигация с купоном 12% и сроком до погашения 1 год, в данном случае дюрация облигаций будет меньше, чем 1 год (условно, инвестиции вернутся через 10 с половиной месяцев, а в оставшийся срок уже будет накапливаться прибыль). Суть дюрации в том, что это время, через которое владелец бумаги возместит все расходы, связанные с ее покупкой.

С другой стороны, дюрация облигаций это мера рискованности данной бумаги или инструмент для оценки потенциально возможной волатильности цены на облигацию. Так, чем больше данный показатель, тем более волатильна цена в условиях изменения процентной ставки. И напротив, чем дюрация ниже, тем менее волатильна цена.

Бесконечная облигация «перфетум»

Чтобы лучше понять дюрацию, необходимо представить бесконечную облигацию, условно называемую перфетум. Это означает, что по ней эмитент никогда не вернет «тело» долга (на практике, конечно же, таких облигаций не существует). И тем не менее у такой облигации все равно будет дюрация, т.е. срок, через который инвестор получит свои первоначальные инвестиции обратно.

За счет чего в данном случае инвестор возвращает вложенные средства? Это происходит за счет ежегодных купонных платежей. Например, купон облигации, у которой отсутствует срок до погашения, равен 20%. Это означает, что свои инвестиции инвестор вернет через 5 лет (100%/20%=5), собственно показатель дюрации в данном случае будет равен 5 годам.

Наглядно про дюрацию

На картинке далее изображена схема, раскрывающая суть рассматриваемого показателя. Дюрация облигаций на рисунке – это синий треугольник под денежными мешками, т.е. это стрелка, которая уравновешивает денежные потоки которые были до нее и которые будут после нее (1, 2).

Когда происходит выплата купонов (3), первый мешочек уходит из расчета дюрации, таким образом, дюрация уменьшается (при условии, что цена облигации осталась неизменной). Дата погашения на рисунке 3 равен пяти годам, а на рисунке 4 срок до погашения уменьшился до 4 лет, соответственно, дюрация на рисунке 3 была равна трем годам, а на рисунке 4 уменьшилась до 2,8 лет.

Дюрация облигаций формула

Данный показатель рассчитывается по весьма запутанной формуле, знать которую рядовому инвестору просто ни к чему (и тем не менее, саму формулу привожу на картинке ниже).

Гораздо важнее просто понимать тот факт, что дюрация облигаций (D) зависит от цены и срока до погашения. Так, при неизменной цене, если срок до погашения уменьшается, D тоже уменьшается. При неизменном сроке, если цена на облигацию вырастает, то D уменьшается; если же цена снижается, то D увеличивается. Таким образом, дюрация облигаций постоянно меняется, она пересчитывается каждый день и каждый день будет разной.

Зачем нужна дюрация облигаций

Для чего же нужна D, если ее значение меняется каждый день? А нужна она для того, чтобы сравнивать между собой разные облигации с разными характеристиками, причем сравнивать именно сегодня!

Например, у вас есть две облигации разных эмитентов с одинаковым кредитным рейтингом (т.е. кредитные риски одинаковые). У первой облигации дата погашения через 5 лет, есть встроенная амортизация, доходность 20%. У второй – срок погашения через 3 года, амортизации нет, доходность так же 20%. Какую облигацию вы выберете? В данном случае необходимо сравнить бумаги по показателю дюрации и выбрать ту, дюрация по которой будет ниже (т.е. менее рисковую при прочих равных условиях).

Как применять дюрацию на практике

Существует определенная стратегия покупки-продажи облигаций, основанная на дюрации. Итак, если вы ожидаете, что ключевая процентная ставка будет снижаться, в таком случае необходимо покупать облигации с большой дюрацией.

Например, если рыночная процентная ставка сейчас находится на уровне 17% и вы уверены, что она будет падать (как это случилось в недавнем прошлом, когда ключевая ставка ЦБ РФ с 17% в декабре 2015 г. снизилась до 10,5% в июне 2016 года, т.е. минус 6,5 процентных пункта всего за полгода), тогда выгодно покупать рисковые облигации с высокой дюрацией. Почему?

Потому что в тот момент, когда рыночная ставка реально начнет снижаться, цены на облигации вырастут, давая возможность заработать прибыль еще до того, как эмитент выплатит купон. Например, вы купили облигацию за 100% с купоном 17% в условиях высоких ставок. Когда же ключевая ставка начнет снижаться, цена на облгацию может вырасти со 100% до 110% и даже 120%, давая вам прибыль еще до момента купонных выплат. Соответственно, сильнее вырастут цены на те бумаги, дюрация облигаций по которым выше.

Что такое модифицированная дюрация

Дюрация Маколея и Модифицированная дюрация

Один из ключевых рисков, которому подвержены все долговые ценные бумаги является процентный риск, т.е. движение процентных ставок. (О снижении процентного риска в статье Хеджирование процентного риска облигации). Дюрация отражает величину процентного риска или чувствительность цены облигации к изменению процентных ставок. Рассмотрим две облигации:

 

1) погашение через 5 лет, купон 5%

2) погашение через 10 лет, купон 10%

 

Из двух бумаг трудно определить, какая в большей степени подвержена процентному риску. Первая облигация платит меньший купон (что увеличивает процентный риск), в то время как вторая погашается на 5 лет позже (что также увеличивает процентный риск). Поэтому необходим такой показатель, который бы объединил оба фактора: купонную ставку и срок погашения, и позволил сравнить процентные риски облигаций с разными критериями. Таким показателем и является дюрация.

 

 

Дюрация Маколея (Maccaulay duration)

 

В 1938 году Фредерик Маколей изобрел самый первый вид дюрации. Дюрация Маколея – это средневзвешенное время до получения купонов и номинала, где вес определяется как доля текущего значения денежного потока от цены облигации. Таким образом, дюрация Маколея измеряется в годах.

 

 

C – купонный платеж в денежном выражении

r – доходность облигации (YTM или YTC)

t – время поступления выплаты (купона или номинала)

N – номинал облигации в денежном выражении

P – текущая цена облигации

 

 

Пример 1: обыкновенная облигация

Посчитаем дюрацию облигации, которая торгуется по номиналу и имеет три года до погашения. Купон равен 9% годовых и платится в конце каждого года. В связи с тем, что цена облигации равна 100, доходность к погашению составляет 9%.

 

 

 

Что это означает? Несмотря на то, что облигация погашается через 3 года, ее чувствительность к движению процентных ставок меньше, чем у трехгодовой бескупонной облигации из-за купонных выплат. В связи с тем, что облигация платит купоны, которые могут быть переинвестированы, срок инвестирования и процентный риск снижаются. Поэтому, при прочих равных чем выше купон, тем ниже процентный риск, т. е. меньше дюрация. 

 

Расчет дюрации облигации можно представить с помощью точки балансирования на графике. Денежные потоки от облигации (а именно доля текущей стоимости потоков от цены облигации) представляют вес. Дюрация – фактический срок жизни облигации – точка балансирования, измеряемая в годах.

 

 

 

Пример 2: (бескупонная облигация)

Посчитаем дюрацию бескупонной облигации, которая торгуется по $77,22 и имеет три года до погашения. Доходность к погашению равна 10%.

 

 

 

Трехлетняя бескупонная облигация с аналогичной доходностью 9% имеет 3 года. Если ставки вырастут, цена бескупонной облигации упадет сильнее в процентном выражении, чем цена купонной облигации. Это связано, с тем, что инвестор получит только одну выплату по истечении 3-х лет, т. е. у него не будет промежуточных средств (купонов), которые он бы мог переинвестировать под более высокие ставки. В то время как владелец 9% купонной облигации с погашением также через 3 года сможет вкладывать получаемые купоны под более высокие рыночные ставки, что снижает процентный риск (дюрация бумаги сокращается до 2,76 года).

 

И наоборот, в случае снижения ставок центральным банком цена бескупонной облигации вырастет больше, чем цена купонной из-за реинвестирования: получаемые купоны будут вложены по более низким ставкам.

 

Упрощенное математическое определение дюрации и конвекции, а также их взаимосвязь описаны в «Математическое описание дюрации и конвекции». Расчет дюрации долговой ценной бумаги в торговых терминалах (в том числе Bloomberg) строится по этим формулам.

 

Правило: Дюрация Маколея для всех бескупонных облигаций всегда равна сроку до погашения.

 

 

Модифицированная дюрация

 

Модифицированная дюрация является общепринятым показателем процентного риска долговой ценной бумаги, так как она отражает, на сколько изменится цена облигации при изменении процентных ставок на 1%.  


 

YTM – доходность к погашению

n – количество купонных платежей в год

 

Пример 3. Определим модифицированную дюрацию 9% купонной облигации с датой погашения через 3 года. Бумага торгуется по номиналу и имеет доходность 9% годовых. Купоны платятся в конце года.

 

Исходя из предыдущих расчетов, дюрация Маколея этой облигации составляет 2,76 года. Поэтому:

 

Модифицированная дюрация = 2,76/(1 + 0,09) = 2,531%

 

Это означает, что при росте (падении) доходности облигации на 1% или 100 базисных пунктов, цена облигации снизится (вырастет) на 2,531%. Отметим, если облигация платит купоны два раза в год, то необходимо поделить доходность в знаменателе на 2. 

 

Хеджирование дюрации (процентного риска) является неотъемлемой частью управления облигационным портфелем. Методы хеджирования, потенциальные риски и примеры описаны в «Хеджирование процентного риска облигации».

 

 

Цена одного базисного пункта (price value of basis point, PVBP или DV01)

 

Используя модифицированную дюрацию, можно посчитать прибыль или убыток от владения облигацией, если доходность изменится на 1 базисный пункт. В английском языке такой показатель называется PVBP (price value of basis point) или DV01 (dollar value of one basis point). Подробнее о расчете и практическом использовании DV01 здесь: Измерение процентного риска портфеля с помощью PV01, PVBP и конвекции. 

 

В случае с 3-х летней облигацией с купоном 9% и рыночной ценой $100, модифицированная дюрация составляет 2,531%. При изменении доходности облигации на 100 базисных пунктов цена облигации изменится на 2,531%. Следовательно, изменение доходности на 1 базисный пункт приведет к изменению цены на

PVBP = ($100 x 2,531%) / 1000 = $0,02531

 

Рост доходности на 1 базисный пункт приведет к убытку, равному 2,5 центам.

 

 

От чего зависит дюрация?

 

1) размер купона: чем выше купон, тем ниже дюрация

2) срок до погашения: чем дальше дата погашения облигации, тем волатильнее цена облигации, т.е. выше дюрация.

 

Поэтому, самым низким процентным риском обладают краткосрочные облигации с высокими купонными ставками.

 

Помимо дюрации, которая является производной 1-го порядка, профессиональные инвесторы в крупных фондах и инвестиционных банках принимают во внимание и конвекцию ценной бумаги. Положительная конвекция (выпуклость цены облигации), характерная для стандартных долговых активов без call feature, ускоряет рост цены облигации при падении доходности и замедляет падение цены – при увеличении доходности. (О расчете конвекции и ее практическом применении в торговле можно прочитать в Конвекция или выпуклость облигации).

 

Дюрация — это… Что такое Дюрация?

Дюрация (англ. duration — длительность) — это средневзвешенный срок потока платежей, взвешенный по дисконтированной сумме. Иными словами — это точка равновесия сроков дисконтированных платежей. Дюрация является важнейшей характеристикой потока платежей, определяющая его чувствительность к изменению процентной ставки.

Понятие дюрации было введено американским ученым Ф. Маколи (F.R. Macaulay).

Дюрация потока зависит не только от его структуры, но и от текущей процентной ставки. Чем выше ставка, тем меньше стоимость дальних выплат по сравнению с короткими и тем меньше дюрация, и наоборот, чем меньше ставка, тем больше дюрация потока платежей.

Формула расчета

Дюрация рассчитывается по формуле:

где

  • PVi — Дисконтированная стоимость будущих платежей;
  • Ti — период поступления 1,2,3,4…N;
  • N — количество периодов (период может быть любым: день, неделя, месяц, 10 дней и т. д.).

Дюрация облигации

Дюрация помогает определить степень зависимости рыночной цены облигации от изменения процентной ставки. Дюрация облигации приблизительно равна величине изменения цены облигации при изменении процентной ставки (ставки дисконтирования) на один процент. Другими словами, дюрация — это эластичность цены облигации по процентной ставке (ставке дисконтирования). Чем больше дюрация ценной бумаги, тем значительнее изменения ее рыночной стоимости при изменении процентной ставки (ставки дисконтирования). Следовательно, чем больше дюрация, тем выше риск процентной ставки.

Время, проходящее до наступления срока платежа по ценной бумаге, могло бы быть использовано для получения по этим инвестициям более высокого дохода. Следовательно, цена актива с более продолжительным сроком платежа имеет более сильную зависимость от процентной ставки (ставки дисконтирования), чем цена актива, по которому поток платежей происходит в ближайшем будущем. Ввиду существования такой зависимости, дюрация иногда измеряется как средневзвешенный срок до получения каждого платежа по ценной бумаге. Таким образом, дюрация бескупонной облигации со сроком погашения лет — лет, поскольку единственный платеж по ней будет произведен через лет. При наличии купонных выплат, дюрация меньше чем .

Для облигаций дюрация рассчитывается следующим образом:

где

  • PVi — это текущая (дисконтированная)стоимость будущих поступлений (купоны и основной долг) по облигации,
  • Ti — период поступления i-го дохода,
  • Price — цена облигации.
  • k — количество купонов в год

Из этой формулы следуют следующие закономерности изменения дюрации:

  • При прочих равных условиях, чем продолжительнее срок погашения облигации, тем больше дюрация.
  • При прочих равных условиях, при повышении ставки дисконтирования дюрация купонных облигаций уменьшается.
  • При прочих равных условиях, чем выше ставка купонных платежей по облигации, тем меньше дюрация.

Модифицированная дюрация

Модифицированная дюрация для облигации рассчитывается как:

где

Практическое применение

Дюрация используется в частности для оценки процентного риска и риска реинвестирования по купонным облигациям. Как правило, инвесторы стараются поддерживать средневзвешенную дюрацию портфеля, равную горизонту инвестирования. Модифицированная дюрация позволяет оценить примерное изменение цены облигации (в %) в ответ на малое изменение рыночных процентных ставок (или доходности):

Ссылки

Что такое дюрация облигаций, как ее рассчитать и применить на практике

Здравствуйте, друзья!

Инвестор, который хочет добавить в свой портфель облигации, анализирует несколько параметров этой ценной бумаги: тип купона, доходность, наличие оферты и амортизации, цена и пр. На инвестиционных ресурсах встречается еще один параметр, который для новичков не совсем понятен. В статье рассмотрим, что такое дюрация простыми словами, для чего она нужна и как рассчитать. Отдельно разберем, как инвестор может применить полученные теоретические знания этого параметра в своей практике инвестирования.

Понятие и значение для выбора облигаций

Дюрация (англ. duration – длительность) – это период до полного возврата вложенных в покупку облигации средств. Измеряется в годах, но на российских ресурсах чаще можно увидеть единицу измерения в днях.

 

В описании облигации отдельно есть параметр “срок до погашения” и отдельно “дюрация”. Вроде бы и первый, и второй показывает, сколько осталось времени до возврата денег. Но цифры не всегда совпадают. Если в первом случае это простой срок до погашения, то во втором – с учетом купонов, амортизации, оферты.

В банковской терминологии есть термин “эффективная процентная ставка”, т. е. ставка с учетом капитализации процентов. Слово “эффективный” можно применить и к сроку возврата денег по облигации, т. к. он тоже учитывает разные характеристики ценной бумаги.

Формулу расчета в буквенном изображении мы не будем приводить, чтобы не спугнуть начинающих инвесторов и не отбить у них желания покупать долговые ценные бумаги. Вам не придется по ней считать эффективный срок. Есть специальные ресурсы, где все уже подсчитано. О них поговорим отдельно в статье.

Но для понимания показателя предложу вам упрощенный вариант формулы в текстовом виде:

Дюрация (Д) = Сумма выплат (купоны или погашение номинала) * Время выплаты / Сумму выплат

 

Пример. Есть две облигации А и Б с одинаковой доходностью 5 % годовых. Номинал у обеих – 1 000 ₽. Срок до погашения – 3 года. У бумаги А купоны выплачиваются 1 раз в год. У бумаги Б – в конце срока вместе с погашением номинала. Денежные потоки по годам приведены в таблице.

 

Д (А) = (50 * 1 + 50 * 2 + 1050 * 3) / 1 150 = 2,87 года

Д (Б) = 1 150 * 3 / 1 150 = 3 года

Дюрация в первом случае меньше за счет более частых выплат купонов. Следовательно, меньше и риск. Инвестор быстрее получает возврат средств. Деньги можно опять пустить в инвестиции и заработать. А дюрация бескупонной облигации равна сроку погашения.

При прочих равных условиях лучше выбирать бумаги с меньшей дюрацией, т. к. меньше риск потери капитала. Кроме того, дюрация показывает не только средний срок возврата денег, но и зависимость цены облигации от изменения ключевой ставки Центробанка. Об этом мы тоже еще поговорим.

Можно проследить определенные свойства дюрации. Она применяется для сравнения долговых бумаг между собой и учитывает 4 основных фактора:

  1. Срок до погашения. Чем больше срок до погашения, тем выше дюрация.
  2. Амортизация. У долгового инструмента с амортизацией при прочих равных условиях дюрация ниже.
  3. Размер и периодичность выплаты купонов. Чем больше размер купона и чаще выплаты, тем ниже дюрация.
  4. Влияние изменения ключевой ставки Центробанка на цену облигации тем ниже, чем меньше срок до погашения и ниже дюрация.

Эффективный срок возврата рассчитывают только для бумаг с постоянным купоном, когда известно, в какие сроки и в каком размере будут выплаты.

Можно провести аналогию с банками. Погашение по кредиту они требуют с заемщиков проводить ежемесячно, тем самым снижают эффективный срок возврата долга за счет более частых платежей и, соответственно, уменьшают свои риски.

 

Формула Маколея позволяет сравнивать между собой долговые инструменты с разными доходностями и сроками погашения. С ее помощью рассчитывается средневзвешенный срок с учетом размера и периодичности купонных выплат.

Модифицированная дюрация

В описании облигации встречается еще один параметр – модифицированная дюрация (МД). Показывает, на сколько изменится цена бумаги при изменении доходности к погашению на 1 %.

МД = Дюрация Маколея / (1 + Доходность к погашению / Количество выплат в год)

Зависимость цены от изменения доходности = –МД * Изменение процентной ставки

Пример. Облигация Башнефть-001P-02R-боб:

  1. дюрация – 917 дней;
  2. доходность к погашению – 6,3835 %;
  3. купоны – 2 раза в год.

МД = (917 / 365) / (1 + 0,06764 / 2) = 2,43 года

Упрощенная формула, которую мы привели выше, не совсем корректная. Она нужна нам для общего понимания показателя. В реальной жизни применяют разные виды и методы расчета.

Формула Маколея

Когда мы имеем дело с деньгами и расчетным периодом более одного года, необходимо учитывать фактор времени. Можно объяснить этот момент на денежной купюре.

Представьте, что у вас в кармане лежит 1 000 ₽. Вы случайно забыли про эти деньги и вспомнили через 3 года. Это будет все та же 1 000 ₽? Конечно, нет. С течением времени деньги меняют свою стоимость. И рубль сегодня – это не то же самое, что рубль завтра.

Поэтому и денежные поступления по долговой ценной бумаге в разные периоды времени нельзя просто так складывать, как мы это сделали в примере выше. Необходимо учитывать фактор времени. Для этого есть специальный механизм под названием “дисконтирование”, т. е. приведение денежных потоков к единому моменту времени.

 

Этот механизм в 1938 г. учел в своей формуле расчета дюрации экономист Фредерик Маколей. В числитель он поставил не просто сумму денежных поступлений, а дисконтированных денежных поступлений, т. е. с учетом фактора времени.

Дюрация Маколея = Сумма дисконтированных денежных поступлений * Срок поступления выплат / Текущую цену с учетом накопленного купонного дохода

Пример. Облигация с купоном 5 % годовых, выплаты проводятся раз в год. Текущая рыночная цена с учетом НКД равна 1 000 ₽. Срок до погашения – 3 года.

 

Предположим, что процентная ставка выросла на 2 % до 8,3835 %, тогда цена снизится на:

–2,43 * 2 % = –4,86 %

Таким образом, при росте доходности цена падает. И наоборот.

 

Дюрация к оферте

У некоторых облигаций есть оферта. Это право эмитента погасить ценную бумагу по номиналу раньше срока. В этом случае эффективный срок значительно меньше обычного срока до погашения, потому что он рассчитывается до предполагаемой даты оферты.

Например, у Атомэнергопром-8-боб до даты погашения осталось 1 757 дней, а дюрация равна 1 397 дней, потому что оферта назначена на 18.06.2021.

 

Где посмотреть

Указанные выше формулы мы привели только с целью математической иллюстрации показателя. Некоторые люди лучше понимают суть процесса, когда им раскладывают его в цифрах. В практике инвестирования инвестор пользуется уже готовыми значениями, которые можно найти в нескольких источниках.

Калькулятор на сайте rusbonds.ru – считает все параметры ценной бумаги

 

 
Как инвестору применять дюрацию на практике

Хорошо, мы рассчитали сами или посмотрели готовые значения дюрации по интересующим нас долговым инструментам. Что делать дальше с этой информацией и где ее использовать?

Цель любого инвестора – это минимизировать риски потери капитала при приемлемом уровне доходности. Эффективный срок до погашения как раз и помогает достичь поставленной цели.

Рассмотрим возможные варианты применения показателя.

  • Сравнение и выбор

Например, Группа ЛСР-БО-001P-05 и Завод КЭС-001P-02. Обе ценные бумаги будут погашены 24.10.2024, купоны выплачиваются 4 раза в год, есть амортизация. Но у ЛСР дюрация равна 936 дней, а у КЭС – 897 дней. Все дело в размере купона. У первой бумаги он составляет 8,4 %, у второй – 14 %. Если анализ эмитента вам показал, что оба надежны, то логичнее выбрать Завод КЭС-001P-02. Вложения в него менее рискованные и более доходные.

 

  • Покупка на ожидании изменения процентной ставки в экономике

Модифицированная дюрация определяет, как изменится цена облигации при изменении процентной ставки. Если вы ожидаете, что ключевая ставка Центробанка пойдет вверх в ближайшее время (Э. Набиуллина как раз намекнула на этот сценарий в 2021 г.), то купите облигации с меньшей МД. Их цена не так сильно упадет, как у бумаг с большой МД.

Если вы ожидаете, что ставка снизится (как это было весь 2020 г.), то логично купить бумаги с высокой МД, т. к. цена их вырастет в большей степени и можно заработать на разнице котировок.

Заключение

Дюрация – один из параметров, по которым следует проводить отбор долговых бумаг в свой инвестиционный портфель. Особенно он важен для инвесторов, которые планируют продавать активы и зарабатывать на росте котировок. Если вы покупаете на долгосрок и держите до погашения, то на первый план при выборе выступают другие параметры, например, доходность и надежность эмитента. Но и в том и в другом случае надо провести полноценный анализ актива по всем его характеристикам.

Дюрация облигации — что это такое простыми словами

Работая с таким видом ценных бумаг как облигация, часто приходится сталкиваться с таким понятием как дюрация. Что это такое, зачем нужен показатель и что нужно о нем знать инвестору, расскажу подробнее.

Сущность дюрации

Дюрация облигаций определяет отрезок времени, в течении которого инвестор вернет себе деньги, вложенные в них. Это один из финансовых показателей, определяющих степень риска ценной бумаги и отображает ее инвестиционную привлекательность.

Понятие дюрации в начале века независимо друг от друга ввели Дж. Хикс и Ф.Маколи. Они заметили, что облигации, которые отличаются друг от друга периодом погашения и размером купонного дохода, по-разному реагирует на колебание процентных ставок.

Поэтому разработали показатель, помогающий определить взаимосвязь стоимости ценной бумаги и колебания процентных ставок. Этот показатель и называется дюрация (в некоторых источниках дюрация Маколея).

Для чего нужен показатель

Зная значение показателя дюрации, инвесторы могут делать прогнозы и осуществлять экономически эффективные операции на фондовом рынке.

Также при помощи показателя оценивается риск инвестиции в конкретный вид облигаций, а также степень влияния на ценную бумагу процентных колебаний. Дюрация помогает инвестору построить инвестиционную стратегию.

Способы расчета дюрации

В большинстве случаев инвестору самому нет необходимости рассчитывать показатель. Он может воспользоваться специальными сервисами или услугами брокера. Но все-таки вкратце расскажу, как рассчитать дюрацию.

Дюрация Маколея

Маколей вывел формулу расчета, согласно которой показатель зависит от суммы взвешенных платежей и текущей рыночной стоимости ценной бумаги.

Данную формулу начали применять в России в конце прошлого века. На величину показателя дюрации по формуле оказывают влияния следующие составляющие:

  • номинал облигации;
  • рыночная стоимость ценной бумаги;
  • доходность к погашению;
  • размер купонного платежа;
  • количество платежей;
  • срок, когда поступит платеж.

Полученная в ходе вычисления величина измеряется в годах или днях.

Модифицированная дюрация

Формула модифицированной дюрации применяется в случае, когда ставка доходности по ценной бумаге изменяется в каком-то временном промежутке до момента, когда облигация будет полностью погашена.

Формула имеет вид:

Дюрация модифицированная = Дюрация ⁄ (1 + доходность до погашения/количество купонных выплат (в год)

С помощью модифицированной дюрации можно рассчитать примерное изменение стоимости ценной бумаги (в процентах) при незначительных колебаниях величины процентных ставок.

Что нужно знать о дюрации

Чтобы иметь возможность использовать на практике показатель дюрации облигаций, необходимо уяснить главные ее свойства:

  • значение показателя тем больше, чем меньше размер купонных выплат и дальше время погашения облигации;
  • чем чаще эмитент выплачивает купонный доход, тем меньше показатель дюрации;
  • если выплата купонного дохода не предусмотрена, но дюрация ценной бумаги равна времени (в днях или годах), оставшемуся до ее полного погашения;
  • значение показателя всегда меньше или равно сроку погашения ценной бумаги;
  • значение дюрации всегда изменяется: чем ближе дата погашения облигации, тем меньше ее значение.

Владея данными знаниями, можно разработать стратегию инвестирования.

Практическое применение дюрации

Немного остановлюсь на том, как инвесторы используют показатель дюрации. Его значение может рассказать о следующем:

  • Чем меньше значение показателя, тем меньше риск приобретения ценной бумаги. И, наоборот, большое значение говорит о рискованности приобретения облигаций.
  • Если возникает вероятность снижения величины процентной ставки, то целесообразнее приобретать ценные бумаги с большей дюрацией.
  • Если прогнозируется рост размера процентной ставки, то внимание следует уделить облигациям с меньшим показателем дюрации.

Более подробную информацию о показателе можно узнать из специальной литературы, посвященной фондовому рынку.

Об авторе

Баффет

Инвестирую с 2008 года в фондовые рынки Европы, Америки, Азии, России. Больше всего люблю Английский метод инвестирования. Слежу за всеми тенденциями и трендами в мире денег.

Дюрация облигации — что это такое. Формула расчета

Рассмотрим такой экономический термин в долговых ценных бумагах — «дюрация». Наверняка вы уже видели этот параметр при сравнение облигаций. Мы приведём формулы и дадим практические советы по использованию этой информации для инвестора.

1. Что такое дюрация облигации простыми словами

Дюрация облигации (от англ. «duration» — «длительность») — это количество дней, через которые вернутся первоначальные инвестиции с учётом купонных выплат. Чем меньше срок, тем меньше риски.

Впервые термин «дюрации» ввел Фредерик Маколей в 1938 г. С тех пор этот параметр является одним из важнейших при сравнение разных выпусков облигаций.

Облигации с большим сроком дюрации больше всего реагируют на изменения рыночной конъюнктуры, рисков и прежде всего процентных ставок ЦБ (ставка рефинансирования, чаще её называют ключевой).

Дюрация напоминает известный мультипликатор P/E при анализе акций, который показывает количество лет, через которые компания полностью себя окупит при сохранение текущий прибыли.

Примечание

Бескупонная облигация будет иметь дюрацию равную количеству дней до погашения.

Можно составить следующие простые соответствия:

  • Чем выше купонная доходность, тем ниже дюрация;
  • Чем больше дней до погашения, тем больше дюрация;
  • Чем ниже доходность к погашению, тем больше дюрация;
Примечание

Если у облигации есть оферта, то ближайшая дата оферты будет считаться как дата погашения.



2. Формула дюрации — как подсчитать значение

Дюрация зависит от трех составляющих:

  • Цена;
  • Процентная ставка;
  • Срок до погашения;

Формула:

De = [ Pi- + Pi+ ] / [Pr &timex; (i+ — i) ]

Где:

  • De – значение эффективной дюрации облигации;
  • Pi- – рыночная цена при понижении ставки;
  • Pi+ – рыночная цена при возрастании ставки;
  • Pr – номинальная цена ценной бумаги;
  • i+ – повышенная стартовая ставка;
  • i – сниженная стартовая ставка;

Считать дюрацию облигации по формуле самостоятельно не нужно. Она уже подсчитана автоматически. Данные можно посмотреть в торговом терминале QUIK или в открытых источниках по облигациям: https://www.rusbonds.ru (например).

Сложность формулы заключается в том, что текущие деньги не равны завтрашним деньгам. Поэтому для точности расчётов их следует дисконтировать.

Есть также другая формула дюрации, которая учитывает ставку дисконтирования:

D = [ ( [∑ t × C] / (1+i)t) + ( [M × n] / (1+i)n)] / p

Где:

  • n – число платежей;
  • t – период, требуемый для полного погашения;
  • M – погашение номинальной цены облигации;
  • C – денежные поступления процентной прибыли;
  • i – ставка дисконтирования;
  • p – рыночная цена облигации;

3. Модифицированная дюрация — формула

Есть также ещё понятие «модифицированная дюрация» (modified duration), которая отражает изменение рыночной цены облигации на изменения процентных ставок.

Чем больше срок погашения, тем чувствительнее цена.

Формула модифицированной дюрации:

MD = De / (1 + Doh)

Где:

  • De – дюрация облигации;
  • Doh – доходность облигации к погашению;

Чтобы точно подсчитать изменение цены нужно подставить их в следующую формулу:

ΔР = — MD × ΔY

Где:

  • MD – модифицированная дюрация;
  • ΔР – изменение цены бумаги в %;
  • ΔY – изменение процентных ставок;

Она показывает насколько изменится стоимость облигации при изменении доходности на 1%.



Можно без каких-либо расчётов прикинуть примерное изменение цены.

Новые выпуски облигаций с более высокой доходностью вызовут больший интерес, чем старые с более низкой. Рассмотрим пример.

Облигации на 10 лет под 8%. Текущая цена 100. Если на рынке появятся облигации с доходностью 8,5%, то это вызовет падение старых где-то на 5-6%. То есть их цена опустится до 94-95. Таким образом, уравняются доходности облигаций.

Таким же образом можно подсчитать и большие изменения. Если доходность станет 10%, то это вызовет обвал первых на 20%-25%.

При подсчёте дюрации портфеля из нескольких облигаций нужно складывать их в зависимости от веса всего баланса. Например, 30% с дюрацией в 1000 дней, 70% в 1200 дней. Тогда общая дюрация инвестиционного портфеля будет:

0,3 × 1000 + 0,7 × 1200 = 1140

4. Как применить дюрацию на практике

Прежде всего нужно смотреть на ожидания и тенденцию ключевой процентной ставки. Если она стабильно понижается и есть дальнейшие ожидания её снижения, то лучшим решением будет покупка акций или же долгосрочных облигаций.

При этом держать хранить средства в облигациях с маленьким сроком погашения будет ошибочным решением. Фактически будет упущенная выгода.

Безопаснее всего хранить деньги в ценных бумагах с наименьшей дюрацией, но с другой стороны этот метод будет самым неприбыльным.

Рынок и вся экономика подвержена циклам (экономические циклы). Сначала ключевая ставка понижается, потом как только инфляция начинает разгоняться её снова повышают. Потом снова наступит цикл снижения. Опытные инвесторы могут пользоваться этими знаниями.


Смотрите также видео «Дюрация и выпуклость облигаций»:

что показывает и как используется

Гарантирую, что после прочтения данной статьи вы поймёте смысл этого термина и научитесь применять его на практике. В официальных источниках термин дюрация объясняется слишком уж заумными терминами с применением громоздких формул. А между тем для понимания этого термина вовсе не требуется вникать в сложные формулы.

Простое определение дюрации

Дюрация облигации (ДО) –  это ни что иное, как определённый промежуток времени или временной интервал (от англ. duration – длительность). Простыми словами – это срок оставшийся до того момента когда денежные средства инвестированные в покупку облигации полностью окупятся. Срок этот рассчитывается с учётом частоты выплат и величины купонного дохода по каждой конкретной облигации.

Чем больше величина ДО, тем она (дюрация) ближе к сроку, оставшемуся до погашения облигации и, соответственно, тем больше срок окупаемости ваших инвестиций (следовательно, больше и риск).

Чем меньше величина ДО, тем она (дюация) дальше от срока, оставшегося до погашения облигации и, значит тем меньше срок окупаемости ваших инвестиций, а, следовательно, меньше и риск.

Кроме этого ДО отражает чувствительность текущей стоимости облигации к изменению процентной ставки. Подробнее мы об этом поговорим ниже, в разделе, посвященном практическому применению ДО.

Источник: http://AzbukaTreydera.ru/dyuraciya-obligacij-prostymi-slovami.html

Для чего нужна и где используется

С помощью дюрации инвесторы и аналитики измеряют средний срок возврата инвестиций. Дюрация показывает зависимость облигаций от изменения процентных ставок, и это полезно при выборе облигаций.

Также дюрация позволяет оценить другие финансовые активы с фиксированными выплатами. Например, банки могут рассчитывать дюрацию кредитов и кредитных портфелей.

Источник: http://journal.tinkoff.ru/guide/duration/

Что такое дюрация:

В 1938 г. Фредерик Маколей ввел показатель дюрация. Дюрация облигации — некоторый промежуток времени, период до момента полного возврата капитала, вложенного в приобретение облигации.

На практике под дюрацией облигации понимают ее срочность, однако дюрация всегда меньше, любо равна сроку до погашения облигации. Если бумага гасится через 2 года – ее дюрация будет составлять примерно 1,8. Если через 3 года – дюрация будет примерно на уровне 2,5-2,7.

Источник: http://school.moex.com/articles/Slovo_dnya_dyuraciya

На этой странице:

Содержание [показывать]

Рекомендуемый брокер по облигациям 2020

Источник: http://learnbonds.com/ru/bonds/bond-convexity/

Как узнать дюрацию

Необязательно считать самостоятельно: значение можно посмотреть на справочных сайтах, например в облигационном разделе «Смарт-лаба», на cbonds.ru или rusbonds.ru.

Но мы все же рассмотрим несколько методик расчета.

Сведения об облигации Тинькофф 001Р-02R в калькуляторе на сайте Московской биржи. В правом нижнем углу — данные о дюрации

Источник: http://journal.tinkoff.ru/guide/duration/

Не смотрите Википедию

Мы все хотим, чтобы нам объясняли так, чтобы было понятно. Когда  заходишь на википедию и видишь формулу дюрации – совсем непонятно:

Формула дюрации на википедии

Формулу выше можете не запоминать, важно здесь осознать только первую ее часть:

Упрощенная формула дюрации

Числитель:
Сумма из (поступление по облигации * время поступления)

Знаменятель:
Сумма из поступлений

Источник: http://blog.financemarker.ru/oblighatsii/

Дюрация Маколея: формула расчета

Первый и наиболее известный способ расчета дюрации — формула Маколея. Дюрация Маколея показывает эффективный срок до погашения облигации.

Чтобы рассчитать дюрацию, надо сложить все будущие платежи с учетом срока их поступления и поделить результат на рыночную цену облигации с учетом накопленного купонного дохода. Будущие платежи по облигации — это купоны и погашение номинала частями или в конце срока.

Пример расчета дюрации. Допустим, номинал и текущая цена облигации с учетом НКД равны 1000 Р, купон в 10% выплачивается раз в год. До погашения облигации осталось 4 года, доходность до погашения — 10%.

В числителе мы складываем все денежные потоки: четыре купонных платежа и погашение номинала облигации. Так как это будущие платежи разного времени, нужно каким-то образом привести их к сегодняшнему дню. С точки зрения математики эти платежи надо освободить от 10% доходности, то есть дисконтировать. Дисконтирование — это процесс, обратный начислению процентов. В нашем случае ставка дисконтирования — это годовая доходность, то есть 10%.

Далее надо поделить это на цену облигации с НКД — и мы получим дюрацию.

Если купоны выплачиваются чаще раза в год, то расчет усложнится. Квартальных или полугодовых платежей больше, и их надо дисконтировать по квартальной или полугодовой ставке.

Как вложиться и не облажаться

Расскажем в еженедельной рассылке для инвесторов. Подпишитесь и получайте письма каждый понедельник

Источник: http://journal.tinkoff.ru/guide/duration/

Эффективная дюрация и оферта

Эффективная дюрация — третий способ измерить дюрацию. Подходит для облигаций, которые содержат встроенные условия — то есть эмитент может их выкупить раньше срока погашения по оферте. Вероятность того, что облигация будет выкуплена, сокращает ее дюрацию.

Дюрацию облигаций с офертой рассчитывают по формуле эффективной дюрации:

В числителе стоит разница между ценой облигации в условиях падения ставок и ее ценой при росте ставок. В знаменателе — первоначальная цена, умноженная на разницу ставок.

Например, у облигации Тинькофф 001Р-02R дюрация на 23 октября 2019 года составляет 674 дня, хотя срок обращения облигации — 3640 дней. Дюрация существенно меньше срока обращения, потому что по облигации предусмотрена оферта 4 апреля 2022 года и дюрация рассчитывается на момент оферты.

Источник: http://journal.tinkoff.ru/guide/duration/

Дюрация портфеля облигаций

Дюрация портфеля облигаций — это средневзвешенная дюрация отдельных облигаций.

Например, в портфеле инвестора два вида облигаций — РЖД 001P-12R с дюрацией 1308 дней и ПИК БО-П03 с дюрацией 866 дней. Доли в портфеле — 70 и 30% соответственно.

ДПорт = 1308 × 0,7 + 866 × 0,3 = 915,6 + 259,8 = 1175,4 дня

Источник: http://journal.tinkoff.ru/guide/duration/

См. также[править | править код]

  • Дисконтированная стоимость
  • Финансовая математика
  • Выпуклость денежного потока

Источник: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D1%8E%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F

Дюрация проекта

По экономическому смыслу дюрация проекта близка к показателю срока окупаемости проекта, но она учитывает только дисконтированные денежные потоки и не учитывает размер инвестиций.

Формула дюрации проекта:

Например, есть проект, который принесет по 500 Р в четвертый и пятый годы существования. Ставка дисконтирования зависит от многих факторов, например от риска инвестиций. В данном случае она составляет, допустим, 20%. Скорее всего, проект рискованный, поэтому по нему предлагают доходность выше, чем по надежным банковским депозитам. Рассчитаем дюрацию этого проекта.

Таким образом, без учета первоначальных вложений проект окупится через четыре года и пять с половиной месяцев.

Источник: http://journal.tinkoff.ru/guide/duration/

Ссылки[править | править код]

  • Дюрация в инвестиционном анализе пример расчета, определение, характеристика, формула, условия сравнения, критерий приемлемости, недостатки.

Источник: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D1%8E%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F

Похожие статьи

  1. Ссуда
  2. Смета
  3. Дисконтирование
  4. Листинг
  5. Эмбарго

Источник: http://bankspravka.ru/bankovskiy-slovar/dyuratsiya.html

Свойства дюрации

Дюрация купонных облигаций меньше времени до погашения, потому что инвестор регулярно получает купонные платежи.

Дюрация дисконтных облигаций равна времени до погашения, потому что по дисконтным облигациям инвесторы не получают купоны. Если купон один и выплачивается при погашении, дюрация также будет равна сроку до погашения.

При прочих равных чем меньше купон по облигации, чем реже его выплачивают или чем больше времени до погашения, тем больше дюрация: инвестор будет дольше возвращать свои деньги. И наоборот: если купонные платежи большие и более частые, а времени до погашения немного, то дюрация будет меньше, потому что инвестор быстрее вернет свои деньги.

Если рыночная цена облигации падает, то ее доходность растет и дюрация уменьшается, потому что инвестор покупает облигацию дешевле и возвращает вложения быстрее. И наоборот: если рыночная цена облигации растет, то ее доходность падает, а дюрация увеличивается, потому что инвестор больше платит за покупку и медленнее возвращает вложенные деньги.

Источник: http://journal.tinkoff.ru/guide/duration/

Зависимость от процентных ставок

Если купонные платежи по облигациям зафиксированы, то риск для инвесторов заключается в колебаниях цены облигации. Цена облигации и процентные ставки связаны обратной зависимостью: если процентные ставки в экономике растут, то цена ранее выпущенных облигаций падает, и наоборот.

Чем меньше дюрация, тем меньше цена облигации изменится при изменении процентных ставок. Например, по облигациям Тинькофф БО-07 на 23 октября 2019 года дюрация всего 64 дня, потому что 30 декабря банк погасит облигации по номиналу. Скорее всего, за оставшиеся несколько месяцев цена облигации практически не поменяется.

И наоборот: чем выше дюрация, тем больше вероятность того, что цена облигаций существенно изменится при изменении процентных ставок. Например, по облигациям РЖД 001P-12R на 23 октября дюрация составляет 1308 дней, или 3,6 года. За несколько лет ставки могут измениться, а значит, и цена облигации изменится.

Источник: http://journal.tinkoff.ru/guide/duration/

Определение продолжительности

Что такое продолжительность?

Дюрация — это мера чувствительности цены облигации или другого долгового инструмента к изменению процентных ставок. Дюрацию облигации легко спутать со сроком или сроком до погашения, поскольку некоторые виды измерений дюрации также рассчитываются в годах.

Однако срок погашения облигации является линейной мерой количества лет до наступления срока погашения основной суммы долга; он не меняется в зависимости от среды процентных ставок.С другой стороны, продолжительность является нелинейной и увеличивается по мере уменьшения времени до погашения.

Ключевые выводы

  • Дюрация измеряет ценовую чувствительность портфеля облигаций или фиксированного дохода к изменениям процентных ставок.
  • Дюрация Маколея оценивает, сколько лет потребуется инвестору, чтобы выплатить цену облигации за счет ее общих денежных потоков.
  • Модифицированная дюрация измеряет изменение цены облигации при изменении процентных ставок на 1%.
  • Дюрация портфеля с фиксированным доходом рассчитывается как средневзвешенная дюрация отдельных облигаций, находящихся в портфеле.

Как работает длительность

Дюрация может измерять, сколько времени в годах требуется инвестору, чтобы погасить цену облигации за счет общих денежных потоков по облигации. Дюрация также может измерять чувствительность цены облигации или портфеля с фиксированным доходом к изменениям процентных ставок.

В целом, чем выше дюрация, тем сильнее упадет цена облигации при повышении процентных ставок (и тем выше будет риск процентной ставки). Например, если ставки вырастут на 1%, облигационный фонд или фонд облигаций со средней пятилетней дюрацией, вероятно, потеряет примерно 5% своей стоимости.

Определенные факторы могут повлиять на дюрацию облигации, в том числе:

  • Время до погашения : Чем дольше срок погашения, тем выше дюрация и тем выше риск процентной ставки. Рассмотрим две облигации, каждая из которых имеет доходность 5% и стоит 1000 долларов, но имеет разные сроки погашения. Облигация со сроком погашения быстрее — скажем, за один год — окупит свою истинную стоимость быстрее, чем облигация со сроком погашения 10 лет. Следовательно, облигация с более коротким сроком погашения будет иметь меньшую дюрацию и меньший риск.
  • Купонная ставка : Купонная ставка облигации является ключевым фактором при расчете продолжительности. Если у нас есть две идентичные облигации, за исключением их купонных ставок, облигация с более высокой купонной ставкой окупит свои первоначальные затраты быстрее, чем облигация с более низкой доходностью. Чем выше ставка купона, тем меньше дюрация и ниже процентный риск.

Типы продолжительности

На практике дюрация облигации может относиться к двум разным вещам.Дюрация Маколея — это средневзвешенное время до выплаты всех денежных потоков по облигации. Учет текущей стоимости будущих выплат по облигациям, дюрация Маколея помогает инвестору оценивать и сравнивать облигации независимо от их срока или времени до погашения.

Второй тип продолжительности называется модифицированной продолжительностью. В отличие от дюрации Маколея, модифицированная дюрация не измеряется годами. Модифицированная дюрация измеряет ожидаемое изменение цены облигации при изменении процентных ставок на 1%.

Чтобы понять модифицированную дюрацию, имейте в виду, что считается, что цены облигаций имеют обратную зависимость от процентных ставок. Таким образом, рост процентных ставок указывает на вероятность падения цен на облигации, в то время как снижение процентных ставок указывает на вероятность роста цен на облигации.

Маколей Продолжительность

Дюрация Маколея определяет приведенную стоимость будущих купонных выплат по облигации и стоимость погашения. К счастью для инвесторов, этот показатель является стандартной точкой данных в большинстве программных инструментов для поиска и анализа облигаций.Поскольку дюрация Маколея является частичной функцией времени до погашения, чем больше дюрация, тем выше процентный риск или вознаграждение для цен облигаций.

Продолжительность маколея можно рассчитать вручную следующим образом:

M а c D знак равно ∑ ж знак равно 1 п C F ж ( 1 + у k ) ж × т ж п V куда: ж знак равно номер денежного потока C F знак равно сумма денежного потока у знак равно доходность к погашению k знак равно периоды начисления сложных процентов в год т ж знак равно время в годах до получения денежного потока п V знак равно приведенная стоимость всех денежных потоков \ begin {align} & MacD = \ sum ^ n_ {f = 1} \ frac {CF_f} {\ left (1+ \ frac {y} {k} \ right) ^ f} \ times \ frac {t_f} {PV } \\ & \ textbf {где:} \\ & f = \ text {номер денежного потока} \\ & CF = \ text {сумма денежного потока} \\ & y = \ text {доходность к погашению} \\ & k = \ text { периоды начисления сложных процентов в год} \\ & t_f = \ text {время в годах до получения денежного потока} \\ & PV = \ text {текущая стоимость всех денежных потоков} \ end {выровнено} MacD = f = 1∑n (1 + ky) fCFf × PVtf, где: f = номер денежного потока CF = сумма денежного потока y = доходность к погашению k = периоды начисления сложных процентов в год f = время в годах до движения денежных средств полученоPV = текущая стоимость всех денежных потоков

Предыдущая формула разделена на два раздела.Первая часть используется для определения приведенной стоимости всех будущих денежных потоков по облигациям. Вторая часть находит средневзвешенное время до выплаты этих денежных потоков. Когда эти разделы объединены, они сообщают инвестору средневзвешенное количество времени для получения денежных потоков по облигации.

Пример расчета продолжительности Маколея

Представьте себе трехлетнюю облигацию номинальной стоимостью 100 долларов с выплатой 10% -ного купона раз в полгода (5 долларов каждые шесть месяцев) и доходностью к погашению (YTM) 6%.Чтобы найти дюрацию Маколея, первым шагом будет использование этой информации для определения приведенной стоимости всех будущих денежных потоков, как показано в следующей таблице:

Изображение Сабрины Цзян © Investopedia 2020

Эта часть расчета важна для понимания. Однако в этом нет необходимости, если вы уже знаете доходность облигации и ее текущую цену. Это верно, потому что, по определению, текущая цена облигации — это текущая стоимость всех ее денежных потоков.

Для завершения расчета инвестору необходимо взять приведенную стоимость каждого денежного потока, разделить ее на общую приведенную стоимость всех денежных потоков по облигации, а затем умножить результат на время до погашения в годах.Этот расчет легче понять в следующей таблице.

Изображение Сабрины Цзян © Investopedia 2020

Строка «Итого» таблицы сообщает инвестору, что эта трехлетняя облигация имеет дюрацию Маколея 2,684 года. Трейдеры знают, что чем больше дюрация, тем более чувствительной будет облигация к изменениям процентных ставок. Если доходность к погашению вырастет, стоимость облигации с 20-летним сроком погашения упадет дальше, чем стоимость облигации с пятилетним сроком до погашения. Насколько изменится цена облигации на каждый 1% повышения или понижения доходности, называется модифицированной дюрацией.

Модифицированная длительность

Измененная дюрация облигации помогает инвесторам понять, насколько цена облигации вырастет или упадет, если доходность к погашению вырастет или упадет на 1%. Это важное число, если инвестор обеспокоен изменением процентных ставок в краткосрочной перспективе. Модифицированная дюрация облигации с полугодовыми купонными выплатами может быть найдена по следующей формуле:

M о d D знак равно Маколей Продолжительность 1 + ( Y Т M 2 ) ModD = \ frac {\ text {Длительность Маколея}} {1+ \ left (\ frac {YTM} {2} \ right)} ModD = 1 + (2YTM) Продолжительность Маколея

Используя числа из предыдущего примера, вы можете использовать модифицированную формулу дюрации, чтобы определить, насколько изменится стоимость облигации при сдвиге процентных ставок на 1%, как показано ниже:

$ 2.61 ⏟ M о d D знак равно 2,684 1 + ( Y Т M 2 ) \ underbrace {\ $ 2.61} _ {ModD} = \ frac {2.684} {1+ \ left (\ frac {YTM} {2} \ right)} ModD $ 2,61 = 1 + (2YTM) 2,684

В этом случае, если доходность к погашению увеличится с 6% до 7% из-за повышения процентных ставок, стоимость облигации должна упасть на 2,61 доллара. Точно так же цена облигации должна вырасти на 2,61 доллара, если доходность к погашению упадет с 6% до 5%. К сожалению, по мере изменения доходности к погашению скорость изменения цены также будет увеличиваться или уменьшаться. Ускорение изменения цены облигации при повышении и понижении процентных ставок называется «выпуклостью».»

Полезность длительности

Инвесторы должны знать о двух основных рисках, которые могут повлиять на инвестиционную стоимость облигации: кредитный риск (дефолт) и риск процентной ставки (колебания процентных ставок). Дюрация используется для количественной оценки потенциального воздействия этих факторов на цену облигации, поскольку оба фактора будут влиять на ожидаемую доходность к погашению облигации.

Например, если компания начинает бороться и ее кредитное качество ухудшается, инвесторам потребуется большее вознаграждение или доходность к погашению для владения облигациями.Чтобы повысить доходность существующей облигации, ее цена должна упасть. Те же факторы применяются, если процентные ставки растут и выпускаются конкурентоспособные облигации с более высокой доходностью к погашению.

Дюрация бескупонной облигации равна времени ее погашения, поскольку по ней не выплачивается купон.

Стратегии продолжительности

В финансовой прессе вы, возможно, слышали, как инвесторы и аналитики обсуждают долгосрочные или краткосрочные стратегии, что может сбивать с толку. В контексте торговли и инвестирования слово «длинная» будет использоваться для описания позиции, в которой инвестор владеет базовым активом или долей участия в нем, стоимость которых возрастет в случае роста цены.Термин «короткая» используется для описания позиции, в которой инвестор взял актив в долг или имеет интерес к активу (например, деривативам), стоимость которого будет расти, когда цена упадет в цене.

Однако долгосрочная стратегия описывает подход к инвестированию, при котором инвестор в облигации сосредотачивается на облигациях с высокой дюрацией. В этой ситуации инвестор, скорее всего, покупает облигации с длительным сроком до погашения и большей подверженностью рискам процентных ставок. Долгосрочная стратегия хорошо работает, когда процентные ставки падают, что обычно происходит во время рецессий.

Краткосрочная стратегия — это стратегия, в которой инвестор с фиксированным доходом или облигациями сосредоточен на покупке облигаций с небольшой дюрацией. Обычно это означает, что инвестор сосредоточен на облигациях с небольшим сроком до погашения. Подобная стратегия будет использоваться, когда инвесторы думают, что процентные ставки вырастут, или когда они очень не уверены в процентных ставках и хотят снизить свой риск.

Почему это называется продолжительностью?

Дюрация измеряет чувствительность цены облигации к изменениям процентных ставок — так почему ее называют дюрацией? Облигация с более длительным сроком погашения будет иметь цену, более чувствительную к процентным ставкам, и, следовательно, большую дюрацию, чем краткосрочная облигация.

Какие бывают разные типы продолжительности?

Дюрацию облигации можно интерпретировать по-разному. Дюрация Macauley — это средневзвешенное время получения всех денежных потоков по облигации, выраженное в годах. Модифицированная дюрация облигации преобразует дюрацию Маколи в оценку того, насколько цена облигации вырастет или упадет при изменении доходности к погашению на 1%.

Дюрация в долларах измеряет изменение стоимости облигации в долларах при изменении рыночной процентной ставки, обеспечивая простое вычисление суммы в долларах при изменении ставок на 1%.Эффективная дюрация — это расчет дюрации для облигаций, у которых есть встроенные опционы.

Что еще вам говорит продолжительность?

По мере увеличения дюрации облигации ее процентный риск также возрастает, потому что влияние изменения в среде процентных ставок больше, чем было бы для облигации с меньшей дюрацией. Трейдеры с фиксированным доходом будут использовать дюрацию вместе с выпуклостью, чтобы управлять рискованностью своего портфеля и вносить в него корректировки.

Торговцы облигациями также используют дюрацию ключевой ставки, чтобы увидеть, как стоимость их портфеля изменится в определенный момент погашения по всей кривой доходности.При сохранении других сроков погашения неизменными, дюрация ключевой ставки используется для измерения чувствительности цены к изменению доходности на 1% для определенного срока погашения.

Маколей Продолжительность

Какова продолжительность действия Маколея?

Дюрация Маколея — это средневзвешенный срок до погашения денежных потоков по облигации. Вес каждого денежного потока определяется делением приведенной стоимости денежного потока на цену. Продолжительность Маколея часто используется менеджерами портфеля, которые используют стратегию иммунизации.n} \ right)} {\ text {Текущая цена облигации}} \\ & \ textbf {где:} \\ & t = \ text {соответствующий период времени} \\ & C = \ text {периодическая выплата купона} \\ & y = \ text {периодическая доходность} \\ & n = \ text {общее количество периодов} \\ & M = \ text {значение срока погашения} \\ & \ text {Текущая цена облигации} = \ text {текущая стоимость денежных потоков} \\ \ end {выровнен} Дюрация Маколея = Текущая цена облигации t = 1n ((1 + y) tt × C + (1 + y) nn × M), где: t = соответствующий период времени C = периодическая выплата купона y = периодическая доходность n = общая количество периодов M = стоимость погашения Текущая цена облигации = приведенная стоимость денежных потоков

Понимание длительности Маколея

Метрика названа в честь ее создателя Фредерика Маколея.Дюрацию Маколея можно рассматривать как точку экономического баланса группы денежных потоков. Другой способ интерпретации статистики состоит в том, что это средневзвешенное количество лет, в течение которых инвестор должен поддерживать позицию в облигации до тех пор, пока приведенная стоимость денежных потоков по облигации не сравняется с суммой, уплаченной за облигацию.

Факторы, влияющие на продолжительность

Цена облигации, срок погашения, купон и доходность к погашению — все это факторы, влияющие на расчет дюрации. При прочих равных, продолжительность увеличивается по мере увеличения срока погашения.По мере увеличения купона облигации ее дюрация уменьшается. По мере увеличения процентных ставок дюрация уменьшается, и чувствительность облигации к дальнейшему увеличению процентной ставки снижается. Кроме того, наличие фонда погашения, плановая предоплата до погашения и резервы до отзыва — все это снижает дюрацию облигации.

Пример расчета

Расчет дюрации Маколея прост. Предположим, что по облигации с номинальной стоимостью 1000 долларов выплачивается 6% купон и срок погашения составляет три года. Процентные ставки составляют 6% годовых с полугодовым начислением сложных процентов.Купон по облигации выплачивается дважды в год и выплачивается основная сумма долга при последнем платеже. Учитывая это, в следующие три года ожидаются следующие денежные потоки:

Период 1 : $ 30 Период 2 : $ 30 Период 3 : $ 30 Период 4 : $ 30 Период 5 : $ 30 Период 6 : $ 1 , 030 \ begin {align} & \ text {Period 1}: \ $ 30 \\ & \ text {Period 2}: \ $ 30 \\ & \ text {Period 3}: \ $ 30 \\ & \ text {Period 4}: \ $ 30 \\ & \ text {Период 5}: \ $ 30 \\ & \ text {Период 6}: \ $ 1,030 \\ \ end {выровнен} Период 1: 30 долларов США Период 2: 30 долларов США Период 3: 30 долларов США Период 4: 30 долларов США Период 5: 30 долларов США Период 6: 1030 долларов США

При известных периодах и денежных потоках необходимо рассчитать коэффициент дисконтирования для каждого периода.Это рассчитывается как 1 ÷ (1 + r) n , где r — процентная ставка, а n — номер рассматриваемого периода. Процентная ставка r, начисляемая раз в полгода, составляет 6% ÷ 2 = 3%. Следовательно, коэффициенты дисконтирования будут следующими:

Коэффициент дисконтирования периода 1 : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 знак равно 0,9709 Коэффициент дисконтирования периода 2 : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 знак равно 0,9426 Коэффициент дисконтирования периода 3 : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 3 знак равно 0,9151 Коэффициент дисконтирования периода 4 : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 4 знак равно 0.6 = 0,8375 \\ \ end {выровнено} Коэффициент дисконтирования периода 1: 1 ÷ (1 + 0,03) 1 = 0,9709 Коэффициент скидки периода 2: 1 ÷ (1 + 0,03) 2 = 0,9426 Коэффициент дисконтирования периода 3: 1 ÷ (1 + 0,03) 3 = 0,9151 периода 4 Коэффициент дисконтирования: 1 ÷ (1 + 0,03) 4 = 0,8885 Коэффициент дисконтирования периода 5: 1 ÷ (1 + 0,03) 5 = 0,8626 Коэффициент дисконтирования периода 6: 1 ÷ (1 + 0,03) 6 = 0,8375

Затем умножьте денежный поток за период на номер периода и соответствующий коэффициент дисконтирования, чтобы найти приведенную стоимость денежного потока:

Период 1 : 1 × $ 30 × 0,9709 знак равно $ 29.13 Период 2 : 2 × $ 30 × 0,9426 знак равно $ 56,56 Период 3 : 3 × $ 30 × 0,9151 знак равно $ 82,36 Период 4 : 4 × $ 30 × 0,8885 знак равно $ 106,62 Период 5 : 5 × $ 30 × 0,8626 знак равно $ 129,39 Период 6 : 6 × $ 1 , 030 × 0,8375 знак равно $ 5 , 175,65 ∑ Период знак равно 1 6 знак равно $ 5 , 579,71 знак равно числитель \ begin {выровненный} & \ text {Период 1}: 1 \ times \ 30 $ \ times 0.9709 = \ $ 29.13 \\ & \ text {Period 2}: 2 \ times \ 30 $ \ times 0.9426 = \ $ 56.56 \\ & \ text {Период 3}: 3 \ times \ $ 30 \ times 0.{6} = \ 5 579,71 долл. США = \ text {числитель} \\ \ end {выровнено} Период 1: 1 × 30 $ × 0,9709 = 29,13 $ Период 2: 2 × 30 $ × 0,9426 = 56,56 $ Период 3: 3 × 30 $ × 0,9151 = 82,36 $ Период 4: 4 × 30 $ × 0,8885 = 106,62 $ Период 5: 5 × 30 $ × 0,8626 = 129,39 доллара США Период 6: 6 × 1030 долларов США x 0,8375 = 5 175,65 долларов США Период = 1∑6 = 5 579,71 доллара США = числитель

Текущая цена облигации знак равно ∑ Денежные потоки PV знак равно 1 6 Текущая цена облигации знак равно 30 ÷ ( 1 + . {6} \\ & \ phantom {\ text {Текущая цена облигации}} = 30 \ div ( 1+.6 \\ & \ phantom {\ text {Текущая цена облигации}} = \ $ 1000 \\ & \ phantom {\ text {Текущая цена облигации}} = \ text {знаменатель} \\ \ end {выровнено} Текущая цена облигации = PV Денежные потоки = 1∑6 Текущая цена облигации = 30 ÷ (1 + .03) 1 + 30 ÷ (1 + .03) 2 Текущая цена облигации = + ⋯ + 1030 ÷ (1 + .03) 6 Текущая цена облигации = 1000 долларов США Текущая цена облигации = знаменатель

(Обратите внимание, что, поскольку купонная ставка и процентная ставка одинаковы, облигация будет торговаться по номиналу.)

Маколей Продолжительность знак равно $ 5 , 579,71 ÷ $ 1 , 000 знак равно 5.58 \ begin {align} & \ text {Macaulay Duration} = \ 5 579,71 долл. США \ div \ 1 000 долл. США = 5,58 \\ \ end {выровнено} Дюрация Маколея = 5 579,71 долл. США ÷ 1 000 долл. США = 5,58 долл. США

Облигации с выплатой купона всегда будут иметь дюрацию меньше, чем время до погашения. В приведенном выше примере продолжительность 5,58 полугодия меньше, чем время до погашения, равное шести полугодиям. Другими словами, 5,58 ÷ 2 = 2,79 года, что меньше трех лет.

Измененное определение продолжительности

Что такое измененная продолжительность?

Модифицированная дюрация — это формула, которая выражает измеримое изменение стоимости ценной бумаги в ответ на изменение процентных ставок.Модифицированная дюрация соответствует концепции, согласно которой процентные ставки и цены облигаций движутся в противоположных направлениях. Эта формула используется для определения влияния изменения процентных ставок на 100 базисных пунктов (1%) на цену облигации.

Формула и расчет модифицированной продолжительности

Измененная продолжительность знак равно Macauley Продолжительность 1 + Доходность к погашению п куда: Macauley Продолжительность знак равно средневзвешенный срок до срок погашения денежных потоков от облигации Доходность к погашению знак равно доходность к погашению п знак равно количество купонных периодов в год \ begin {align} & \ text {Modified Duration} = \ frac {\ text {Macauley Duration}} {1 + \ frac {\ text {YTM}} {n}} \\ & \ textbf {где:} \\ & \ text {Macauley Duration} = \ text {средневзвешенный срок до} \\ & \ text {срок погашения денежных потоков от облигации} \\ & \ text {YTM} = \ text {доходность к погашению} \\ & n = \ text {количество купонных периодов в году} \\ \ end {выровнено} Модифицированная дюрация = 1 + nYTM Macauley Duration, где: Macauley Duration = средневзвешенный срок до погашения денежных потоков от облигации YTM = доходность к погашению n = количество купонных периодов в год

Модифицированная дюрация — это увеличение дюрации Маколея, которая позволяет инвесторам измерять чувствительность облигации к изменениям процентных ставок. {n} (\ text {PV} \ times \ text {CF}) \ times \ text {T}} { \ text {Рыночная цена облигации}} \\ & \ textbf {где:} \\ & \ text {PV} \ times \ text {CF} = \ text {текущая стоимость купона за период} t \\ & \ text {T} = \ text {время каждого денежного потока в годах} \\ & n = \ text {количество купонных периодов в году} \\ \ end {выровнено} Дюрация Маколи = рыночная цена облигации t = 1n (PV × CF) × T, где: PV × CF = приведенная стоимость купона в период tT = время каждого денежного потока в годах n = количество купонных периодов в году

Здесь (PV) * (CF) — это приведенная стоимость купона в период t, а T равно времени каждого денежного потока в годах.Этот расчет выполняется и суммируется для количества периодов до погашения.

Ключевые выводы

  • Модифицированная дюрация измеряет изменение стоимости облигации в ответ на изменение процентных ставок на 100 базисных пунктов (1%).
  • Модифицированная продолжительность — это расширение продолжительности Маколея, и для расчета модифицированной продолжительности сначала должна быть рассчитана продолжительность Маколея.
  • Дюрация Маколея рассчитывает средневзвешенное время до получения держателем облигации денежных потоков по облигации.
  • По мере увеличения срока погашения облигации дюрация увеличивается, а по мере увеличения купона и процентной ставки облигации ее дюрация уменьшается.

О чем вам может рассказать измененная длительность

Модифицированная дюрация измеряет средний срок до погашения облигации, взвешенный по денежным средствам. Это очень важное число для управляющих портфелем, финансовых консультантов и клиентов, которые следует учитывать при выборе инвестиций, потому что — при прочих равных факторах риска — облигации с более высокой дюрацией имеют большую волатильность цен, чем облигации с более низкой дюрацией.Существует много типов дюрации, и все компоненты облигации, такие как цена, купон, дата погашения и процентные ставки, используются для расчета дюрации.

Вот некоторые принципы продолжительности, о которых следует помнить. Во-первых, по мере увеличения срока погашения увеличивается дюрация и облигация становится более волатильной. Во-вторых, по мере увеличения купона облигации ее дюрация уменьшается, и облигация становится менее волатильной. В-третьих, по мере увеличения процентных ставок дюрация уменьшается, и чувствительность облигации к дальнейшему увеличению процентной ставки снижается.

Пример использования измененной продолжительности

Предположим, что облигация на сумму 1000 долларов имеет трехлетний срок погашения, выплачивается 10% купон и процентная ставка 5%. Эта облигация, следуя основной формуле ценообразования облигаций, будет иметь рыночную цену:

Рыночная цена знак равно $ 1 0 0 1 . 0 5 + $ 1 0 0 1 . 0 5 2 + $ 1 , 1 0 0 1 . 0 5 3 Рыночная цена знак равно $ 9 5 . 2 4 + $ 9 0 . 7 0 + $ 9 5 0 . 2 2 Рыночная цена знак равно $ 1 , 1 3 6 .3} \\ & \ phantom {\ text {рыночная цена}} = \ 95,24 доллара + \ 90,70 доллара + \ 950,22 доллара \\ & \ phantom {\ text {рыночная цена}} = \ 1136,16 доллара \\ \ end {выровнено} Рыночная цена = 1,05 $ 100 + 1,052 $ 100 + 1,053 $ 1100 Рыночная цена = 95,24 $ + 90,70 $ + 950,22 $ Рыночная цена = 1136,16 $

Затем, используя формулу длительности Маколея, продолжительность рассчитывается как:

Macauley Продолжительность знак равно ( $ 9 5 . 2 4 × 1 $ 1 , 1 3 6 . 1 6 ) + Macauley Продолжительность = ( $ 9 0 . 7 0 × 2 $ 1 , 1 3 6 .1 6 ) + Macauley Продолжительность = ( $ 9 5 0 . 2 2 × 3 $ 1 , 1 3 6 . 1 6 ) Macauley Продолжительность знак равно 2 . 7 5 3 \ begin {align} \ text {Macauley Duration} = & \ (\ $ 95.24 \ times \ frac {1} {\ $ 1,136.16}) + \\ \ phantom {\ text {Macauley Duration =}} & \ (\ $ 90.70 \ times \ frac {2} {\ $ 1,136,16}) + \\ \ phantom {\ text {Macauley Duration =}} & \ (\ $ 950,22 \ times \ frac {3} {\ $ 1,136,16}) \\ \ phantom {\ text {Macauley Продолжительность}} = & \ 2.753 \ end {выровнено} Продолжительность Макаоли = Продолжительность Макаоли = Продолжительность Макаоли = Продолжительность Макаоли = (95 долларов.24 × 1136,161 долл.) + (90,70 долл. × 1136,162 долл.) + (950,22 долл. × 1136,163 долл. США) 2,753

Этот результат показывает, что для окупаемости реальной стоимости облигации требуется 2,753 года. С помощью этого числа теперь можно рассчитать измененную продолжительность.

Чтобы найти модифицированную дюрацию, все, что нужно сделать инвестору, — это взять дюрацию Маколея и разделить ее на 1 + (доходность к погашению / количество купонных периодов в год). В этом примере расчет будет 2,753 / (1,05 / 1), или 2,62%. Это означает, что на каждое изменение процентных ставок на 1% облигация в этом примере будет двигаться обратно в цене на 2.62%.

Определение выпуклости

Что такое выпуклость?

Выпуклость — это мера кривизны, или степени кривой, во взаимосвязи между ценами облигаций и доходностью облигаций.

Ключевые выводы

  • Convexity — это инструмент управления рисками, используемый для измерения и управления подверженностью портфеля рыночному риску.
  • Выпуклость — это мера кривизны во взаимосвязи между ценой облигаций и доходностью облигаций.
  • Выпуклость демонстрирует, как изменяется дюрация облигации при изменении процентной ставки.
  • Если дюрация облигации увеличивается по мере увеличения доходности, считается, что облигация имеет отрицательную выпуклость.
  • Если дюрация облигации увеличивается, а доходность падает, считается, что облигация имеет положительную выпуклость.

Общие сведения о выпуклости

Выпуклость показывает, как изменяется дюрация облигации при изменении процентной ставки. Управляющие портфелем будут использовать выпуклость в качестве инструмента управления рисками для измерения и управления подверженностью портфеля процентному риску.

В примере, показанном ниже, Облигация A имеет более высокую выпуклость, чем Облигация B, что указывает на то, что при прочих равных условиях Облигация A всегда будет иметь более высокую цену, чем Облигация B, при повышении или понижении процентных ставок.

Изображение Джули Банг © Investopedia 2019

Прежде чем объяснять выпуклость, важно знать, как цены облигаций и рыночные процентные ставки соотносятся друг с другом. Когда процентные ставки падают, цены на облигации растут. И наоборот, рост рыночных процентных ставок приводит к падению цен на облигации.Эта противоположная реакция объясняется тем, что по мере роста ставок облигация может отставать в выплате, которую они предлагают потенциальному инвестору, по сравнению с другими ценными бумагами.

Доходность облигаций — это прибыль, которую инвестор может рассчитывать получить, купив и удерживая эту конкретную ценную бумагу. Цена облигации зависит от нескольких характеристик, включая рыночную процентную ставку, и может регулярно меняться.

Например, если рыночные ставки повышаются или ожидается их повышение, новые выпуски облигаций также должны иметь более высокие ставки, чтобы удовлетворить спрос инвесторов на ссуду эмитенту их денег.Однако цена облигаций, доходность которых ниже этой ставки, упадет, поскольку на них будет очень мало спроса, поскольку держатели облигаций будут стремиться продать свои существующие облигации и выбирать облигации, скорее всего, более новые выпуски, с более высокой доходностью. В конечном итоге цена этих облигаций с более низкой купонной ставкой упадет до уровня, при котором норма доходности будет равна преобладающим рыночным процентным ставкам.

Длительность связи

Дюрация облигации измеряет изменение цены облигации при колебаниях процентных ставок.Если дюрация облигации высока, это означает, что цена облигации будет двигаться в большей степени в направлении, противоположном процентным ставкам. И наоборот, когда этот показатель низок, долговые инструменты будут демонстрировать меньшую динамику изменения процентных ставок. По сути, чем выше дюрация облигации, тем больше изменяется ее цена при изменении процентных ставок. Другими словами, тем выше его процентный риск. Итак, если инвестор считает, что процентные ставки будут расти, ему следует рассмотреть облигации с более низкой дюрацией.

Не следует путать дюрацию облигации со сроком до погашения. Хотя оба они снижаются по мере приближения срока погашения, последний является просто мерой времени, в течение которого держатель облигации будет получать купонные выплаты до тех пор, пока не будет выплачена основная сумма долга.

Обычно, если рыночные ставки повышаются на 1%, цена облигации с погашением одного года должна снизиться на 1%. Однако для облигаций с длительным сроком погашения реакция усиливается. Как правило, если ставки повышаются на 1%, цены облигаций падают на 1% за каждый год до погашения.Например, если ставки вырастут на 1%, цена двухлетней облигации упадет на 2%, цена трехлетней облигации — на 3%, а цена 10-летней облигации — на 10%.

С другой стороны, дюрация измеряет чувствительность облигации к изменению процентных ставок. Например, если ставки вырастут на 1%, облигационный фонд или фонд облигаций со средней дюрацией 5 лет, вероятно, потеряет примерно 5% своей стоимости.

Выпуклость и риск

Выпуклость основывается на концепции дюрации, измеряя чувствительность дюрации облигации к изменению доходности.Выпуклость — лучший способ измерить процентный риск в отношении дюрации облигации. Если дюрация предполагает, что процентные ставки и цены облигаций имеют линейную зависимость, выпуклость учитывает другие факторы и дает наклон.

Дюрация может быть хорошей мерой того, как на цены облигаций могут повлиять небольшие и внезапные колебания процентных ставок. Однако соотношение между ценой облигаций и доходностью обычно более наклонное или выпуклое. Следовательно, выпуклость — лучший способ оценить влияние на цены облигаций при больших колебаниях процентных ставок.

По мере увеличения выпуклости увеличивается системный риск, которому подвержен портфель. Термин «системный риск» стал обычным явлением во время финансового кризиса 2008 года, когда банкротство одного финансового учреждения угрожало другим. Однако этот риск может относиться ко всем предприятиям, отраслям и экономике в целом.

Риск для портфеля с фиксированной доходностью означает, что по мере роста процентных ставок существующие инструменты с фиксированной ставкой становятся менее привлекательными. По мере уменьшения выпуклости уменьшается подверженность рыночным процентным ставкам, и портфель облигаций можно считать хеджированным.Как правило, чем выше ставка купона или доходность, тем ниже выпуклость — или рыночный риск — облигации. Это уменьшение риска связано с тем, что рыночные ставки должны значительно вырасти, чтобы превысить купон по облигации, а это означает, что для инвестора будет меньше процентного риска. Однако другие риски, такие как риск дефолта и т. Д., Все еще могут существовать.

Отрицательная и положительная выпуклость

Если дюрация облигации увеличивается по мере увеличения доходности, считается, что облигация имеет отрицательную выпуклость. Другими словами, цена облигации будет снижаться более высокими темпами с ростом доходности, чем если бы доходность упала.Следовательно, если облигация имеет отрицательную выпуклость, ее дюрация увеличится — цена упадет. По мере роста процентных ставок все наоборот.

Если дюрация облигации увеличивается, а доходность падает, считается, что облигация имеет положительную выпуклость. Другими словами, когда доходность падает, цены на облигации растут более быстрыми темпами — или дюрацией, — чем если бы доходность росла. Положительная выпуклость приводит к большему росту цен на облигации. Если облигация имеет положительную выпуклость, цена на нее, как правило, увеличивается при падении доходности по сравнению с понижением цены при повышении доходности.

В нормальных рыночных условиях, чем выше купонная ставка или доходность, тем ниже степень выпуклости облигации. Другими словами, риск для инвестора меньше, когда облигация имеет высокий купон или доходность, поскольку рыночные ставки должны будут значительно вырасти, чтобы превысить доходность облигации. Таким образом, портфель облигаций с высокой доходностью будет иметь низкую выпуклость и, следовательно, меньший риск того, что их текущая доходность станет менее привлекательной по мере роста процентных ставок.

Следовательно, бескупонные облигации имеют наивысшую степень выпуклости, потому что они не предлагают никаких купонных выплат.Инвесторам, которые хотят измерить выпуклость портфеля облигаций, лучше всего поговорить с финансовым консультантом из-за сложной природы и количества переменных, участвующих в расчетах.

Пример выпуклости

Большинство ценных бумаг с ипотечным покрытием (MBS) будут иметь отрицательную выпуклость, поскольку их доходность обычно выше, чем у традиционных облигаций. В результате потребуется значительный рост доходности, чтобы существующий держатель MBS имел более низкую доходность или менее привлекательный, чем текущий рынок.

Например, SPDR Barclays Capital Mortgage Backed Bond Bond ETF (MBG) предлагает доходность 2,5% по состоянию на 2 сентября 2021 года. Если мы сравним доходность ETF с текущей доходностью 10-летних казначейских облигаций, которая составляет примерно 1,33%, процентная ставка ставки должны были бы существенно вырасти, чтобы ETF MBG столкнулся с риском проигрыша при более высокой доходности. Другими словами, ETF имеет отрицательную выпуклость, потому что любое повышение доходности окажет меньшее влияние на существующих инвесторов.

Что такое отрицательная и положительная выпуклость?

Если дюрация облигации увеличивается по мере увеличения доходности, считается, что облигация имеет отрицательную выпуклость.Другими словами, цена облигации будет снижаться более высокими темпами с ростом доходности, чем если бы доходность упала. Следовательно, если облигация имеет отрицательную выпуклость, ее дюрация будет увеличиваться по мере снижения цены и наоборот.

Если дюрация облигации увеличивается, а доходность падает, считается, что облигация имеет положительную выпуклость. Другими словами, когда доходность падает, цены на облигации растут более быстрыми темпами — или дюрацией, — чем если бы доходность росла. Положительная выпуклость приводит к большему росту цен на облигации. Если облигация имеет положительную выпуклость, цена на нее, как правило, увеличивается при падении доходности по сравнению с понижением цены при повышении доходности.

Почему процентные ставки и цены на облигации движутся в противоположных направлениях?

Когда процентные ставки падают, цены на облигации растут, и наоборот. Например, если рыночные ставки повышаются или ожидается их повышение, новые выпуски облигаций также должны иметь более высокие ставки, чтобы удовлетворить спрос инвесторов на ссуду эмитенту их денег. Однако цена облигаций, доходность которых ниже этой ставки, упадет, поскольку на них будет очень мало спроса, поскольку держатели облигаций будут стремиться продать свои существующие облигации и выбирать облигации, скорее всего, более новые выпуски, с более высокой доходностью.В конечном итоге цена этих облигаций с более низкой купонной ставкой упадет до уровня, при котором норма доходности будет равна преобладающим рыночным процентным ставкам.

Что такое длительность облигации?

Дюрация облигации измеряет изменение цены облигации при колебаниях процентных ставок. Если дюрация высока, это означает, что цена облигации будет двигаться в противоположном направлении в большей степени, чем изменение процентных ставок. И наоборот, когда этот показатель низок, долговые инструменты будут демонстрировать меньшую динамику изменения процентных ставок.

По сути, чем выше дюрация облигации, тем больше изменяется ее цена при изменении процентных ставок. Другими словами, тем выше его процентный риск. Таким образом, если инвестор считает, что значительное изменение процентных ставок может отрицательно повлиять на его портфель облигаций, ему следует рассмотреть облигации с более низкой дюрацией.

Продолжительность

Маколея по сравнению с модифицированной продолжительностью: в чем разница?

Продолжительность Маколея по сравнению с модифицированной продолжительностью: обзор

Дюрация Маколея и модифицированная дюрация в основном используются для расчета дюрации облигаций.Дюрация Маколея рассчитывает средневзвешенное время, в течение которого держатель облигации получит денежные потоки по облигации. И наоборот, модифицированная дюрация измеряет чувствительность облигации к цене при изменении доходности к погашению.

Ключевые выводы

  • Есть несколько различных подходов к концепции дюрации или ценовой чувствительности актива с фиксированной доходностью к изменениям процентных ставок.
  • Дюрация Маколея — это средневзвешенный срок до погашения денежных потоков от облигации, который часто используется управляющими портфелями, использующими стратегию иммунизации.
  • Измененная дюрация облигации является скорректированной версией дюрации Маколея и используется для расчета изменений дюрации и цены облигации для каждого процентного изменения доходности к погашению.

Продолжительность Маколея

Дюрация Маколея рассчитывается путем умножения периода времени на периодическую купонную выплату и деления полученного значения на 1 плюс периодическая доходность, увеличенная до срока до погашения. Затем значение рассчитывается для каждого периода и складывается.Затем полученное значение добавляется к общему количеству периодов, умноженному на номинальную стоимость, деленному на 1, плюс периодическая доходность, увеличенная до общего количества периодов. Затем стоимость делится на текущую цену облигации.

Маколей Продолжительность знак равно ( ∑ т знак равно 1 п т * C ( 1 + у ) т + п * M ( 1 + у ) п ) Текущая цена облигации куда: C знак равно периодическая выплата купона у знак равно периодическая доходность M знак равно стоимость погашения облигации п знак равно дюрация облигации в периодах \ begin {align} & \ text {Длительность Маколея} = \ frac {\ left (\ sum_ {t = 1} ^ {n} {\ frac {t * C} {\ left (1 + y \ right) ^ t }} + \ frac {n * M} {\ left (1 + y \ right) ^ n} \ right)} {\ text {Текущая цена облигации}} \\ & \ textbf {где:} \\ & C = \ text {периодическая выплата купона} \\ & y = \ text {периодическая доходность} \\ & M = \ text {срок погашения облигации} \\ & n = \ text {продолжительность облигации в периодах} \\ \ end {выровнено} Дюрация Маколея = Текущая цена облигации (∑t = 1n (1 + y) tt ∗ C + (1 + y) nn ∗ M), где: C = периодическая купонная выплатаy = периодическая доходность M = срок погашения облигацииen = дюрация облигации в периодах

Цена облигации рассчитывается путем умножения денежного потока на 1, минус 1, деленного на 1, плюс доходность к погашению, увеличенная на количество периодов, деленное на требуемую доходность.5)).

Модифицированная дюрация этой облигации с доходностью к погашению 6% за один купонный период составляет 4,59 года (4,87 / (1 + 0,06 / 1). Таким образом, если доходность к погашению увеличится с 6% до 7%, дюрация облигации уменьшится на 0,28 года (4,87 — 4,59).

Формула для расчета процентного изменения цены облигации — это изменение доходности, умноженное на отрицательное значение модифицированной дюрации, умноженное на 100%. Это результирующее процентное изменение облигации для увеличения доходности на 1% рассчитывается как -4.59% (0,01 * — 4,59 * 100%).

Измененная продолжительность

Измененная продолжительность знак равно Macauley Продолжительность ( 1 + Y Т M п ) куда: Y Т M знак равно доходность к погашению п знак равно количество купонных периодов в год \ begin {align} & \ text {Modified Duration} = \ frac {\ text {Macauley Duration}} {\ left (1 + \ frac {YTM} {n} \ right)} \\ & \ textbf {где:} \\ & YTM = \ text {доходность к погашению} \\ & n = \ text {количество купонных периодов в году} \ end {выровнено} Модифицированная дюрация = (1 + nYTM) Macauley Duration, где: YTM = доходность к погашению n = количество купонных периодов в году

Модифицированная дюрация — это скорректированная версия дюрации Маколея, которая учитывает изменение доходности к погашению.Формула для модифицированной дюрации представляет собой значение дюрации Маколея, деленное на 1, плюс доходность к погашению, деленную на количество купонных периодов в году. Модифицированная дюрация определяет изменения дюрации и цены облигации для каждого процентного изменения доходности к погашению.

Например, предположим, что шестилетняя облигация имеет номинальную стоимость 1000 долларов и годовую купонную ставку 8%. Расчетная дюрация Маколея составляет 4,99 года ((1 * 80) / (1 + 0,08) + (2 * 80) / (1 + 0.6).

Модифицированная дюрация этой облигации с доходностью к погашению 8% за один купонный период составляет 4,62 года (4,99 / (1 + 0,08 / 1). Таким образом, если доходность к погашению увеличивается с 8% до 9%, дюрация облигации уменьшится на 0,37 года (4,99 — 4,62).

Формула для расчета процентного изменения цены облигации — это изменение доходности, умноженное на отрицательное значение модифицированной дюрации, умноженное на 100%. Это результирующее процентное изменение облигации при увеличении процентной ставки с 8% до 9% рассчитывается как -4.62% (0,01 * — 4,62 * 100%).

Таким образом, если процентные ставки вырастут на 1% за ночь, цена облигации, как ожидается, упадет на 4,62%.

Модифицированные свопы дюрации и процентной ставки

Модифицированная продолжительность может быть увеличена для расчета количества лет, в течение которых процентный своп возмещает цену, уплаченную за своп. Своп процентных ставок — это обмен одного набора денежных потоков на другой, и он основан на спецификациях процентных ставок между сторонами.

Модифицированная дюрация рассчитывается путем деления долларовой стоимости изменения на один базисный пункт части процентного свопа или ряда денежных потоков на приведенную стоимость ряда денежных потоков. Затем значение умножается на 10 000. Модифицированная продолжительность для каждой серии денежных потоков также может быть рассчитана путем деления долларовой стоимости изменения базисной точки серии денежных потоков на условную стоимость плюс рыночная стоимость. Затем дробь умножается на 10 000.

Для расчета модифицированной дюрации процентного свопа необходимо рассчитать модифицированную дюрацию обоих этапов.Разница между двумя модифицированными дюрациями — это модифицированная дюрация процентного свопа. Формула модифицированной продолжительности процентного свопа — это модифицированная продолжительность получающей части за вычетом модифицированной продолжительности платящей части.

Например, предположим, что банк A и банк B заключают процентный своп. Модифицированная продолжительность получающей части свопа рассчитывается как девять лет, а модифицированная продолжительность платящей части рассчитывается как пять лет.В результате модифицированная дюрация процентного свопа составляет четыре года (9 лет — 5 лет).

Сравнение продолжительности Маколея и модифицированной продолжительности

Поскольку дюрация Маколея измеряет средневзвешенное время, в течение которого инвестор должен держать облигацию до тех пор, пока текущая стоимость денежных потоков по облигации не станет равной сумме, уплаченной за облигацию, ее часто используют менеджеры по облигациям, стремящиеся управлять риском портфеля облигаций с помощью стратегий иммунизации. .

Напротив, модифицированная дюрация определяет, насколько изменяется дюрация для каждого процентного изменения доходности, одновременно измеряя, насколько изменение процентных ставок влияет на цену облигации.Таким образом, измененная дюрация может служить мерой риска для инвесторов в облигации, приблизительно определяя, насколько цена облигации может упасть с увеличением процентных ставок. Важно отметить, что цены на облигации и процентные ставки имеют обратную зависимость друг от друга.

Формула продолжительности (определение, примеры в Excel)

Что такое формула продолжительности?

Формула дюрации является мерой чувствительности облигации к изменениям процентной ставки и рассчитывается путем деления суммарного произведения дисконтированного будущего притока денежных средств по облигации и соответствующего количества лет на сумму дисконтированного будущего приток денежных средств.Приток денежных средств в основном состоит из выплаты купона и срока погашения в конце. Она также известна как дюрация Маколея. Дюрация Маколея — это количество времени, которое требуется инвестору, чтобы вернуть свои вложенные деньги в облигацию посредством купонов и погашения основной суммы. Это средневзвешенное значение периода, в течение которого инвестор должен оставаться инвестором в ценные бумаги, чтобы приведенная стоимость денежных потоков от инвестиций была равна сумме, уплаченной за облигацию. Подробнее.

Математически уравнение продолжительности представлено ниже:

Формула продолжительности = [∑ i n-1 i * C i / (1 + r) i + n * M / (1 + r) n ] / [∑ i n-1 C i / (1 + r) i + M / (1 + r) n ]

где,

  • C = Купонная выплата за период
  • M = Номинальная или номинальная стоимость
  • r = Эффективная периодическая процентная ставка
  • n = Количество периодов до погашения

Далее, знаменатель, который представляет собой сумму дисконтированных денежных средств приток облигации эквивалентен текущей стоимости или цене облигации.Следовательно, формулу для продолжительности можно упростить, как показано ниже:

Вы можете свободно использовать это изображение на своем веб-сайте, в шаблонах и т. Д. Пожалуйста, предоставьте нам ссылку с указанием авторства Ссылка на статью с гиперссылкой
Например:
Источник: Формула продолжительности (wallstreetmojo.com)

Объяснение формулы продолжительности

Уравнение для дюрации может быть вычислено с помощью следующих шагов:

  1. Сначала вычисляется номинальная или номинальная стоимость выпуска облигаций, которая обозначается буквой M.
  2. Теперь выплата купона по облигации рассчитывается на основе эффективной периодической ставки процента. Затем определяется периодичность выплаты купона. Купонная выплата обозначается буквой C, а эффективная периодическая процентная ставка обозначается r.
  3. Теперь общее количество периодов до погашения рассчитывается путем умножения количества лет до погашения на частоту выплаты купона в году. Количество периодов до погашения обозначено n.Также отмечается время периодической выплаты, которое обозначается i.
  4. Наконец, на основе доступной информации можно вывести уравнение для продолжительности, как показано ниже:


Примеры формулы продолжительности (с шаблоном Excel)

Давайте посмотрим на несколько простых и продвинутых типов дюрации Дюрация — это мера риска, используемая участниками рынка для измерения чувствительности долгового инструмента к процентной ставке, например связь.Он показывает, насколько чувствительна облигация к изменению процентных ставок. Этот показатель можно использовать для сравнения чувствительности облигаций с разным сроком погашения. Есть три разных способа определения продолжительности, а именно. Продолжительность действия Маколея, модифицированная продолжительность и эффективная продолжительность. Прочтите дополнительную формулу, чтобы лучше понять ее.

Формула формулы продолжительности — Пример № 1

Рассмотрим пример облигации с годовой купонной выплатой. Предположим, что компания XYZ Ltd выпустила облигацию номинальной стоимостью 100 000 долларов США с годовой купонной ставкой 7% и погашением через 5 лет.Преобладающая рыночная процентная ставка составляет 10% .

Учитывая, M = 100 000 долл. США

  • C = 7% * 100000 долларов = 7000 долларов
  • n = 5
  • r = 10%

Знаменатель или цена облигации рассчитывается по формуле, как,

Расчет числителя формулы Duration:

= (6 363,64 + 11 570,25 + 15 777,61 + 19 124,38 + 310 460,70)

= 363 296,50

Таким образом, дюрация облигации будет рассчитана следующим образом:

.

Продолжительность = 363296.50/84 281,19

Формула формулы продолжительности — Пример № 2

Рассмотрим пример облигации с годовой купонной выплатой. Предположим, что компания XYZ Ltd выпустила облигацию номинальной стоимостью 100 000 долларов США со сроком погашения 4 года. Преобладающая рыночная процентная ставка составляет 10%. Рассчитайте дюрацию облигации для следующей годовой купонной ставки: (a) 8% (b) 6% (c) 4%

Учитывая, M = 100 000 долл. США

Расчет купонной ставки 8%

Купонная выплата (C) = 8% * 100 000 долларов США = 8 000 долларов США

Знаменатель или цена облигации рассчитывается по формуле,

Расчет числителя формулы Duration будет следующим —

= 311 732.81

Таким образом, дюрация облигации будет рассчитана следующим образом:

.

Продолжительность = 311 732,81 / 88 196,16

Расчет купонной ставки 6%

Купонная выплата (C) = 6% * 100 000 долларов США = 6 000 долларов США

Знаменатель или цена облигации рассчитывается по формуле,

Расчет числителя формулы Duration будет следующим —

= 302 100,95

Следовательно, расчет дюрации облигации будет следующим:

Продолжительность = 302 100.95/83 222,46

Расчет купонной ставки 4%

Купонная выплата = 4% * 100 000 долларов = 4 000 долларов

Знаменатель или цена облигации Формула ценообразования облигации рассчитывает приведенную стоимость вероятных будущих денежных потоков, которые включают купонные выплаты и номинальную стоимость, которая представляет собой сумму погашения при наступлении срока погашения. Доходность к погашению (YTM) — это процентная ставка, используемая для дисконтирования будущих денежных потоков. Подробнее рассчитывается по формуле, как,

Расчет числителя формулы Duration будет следующим —

= 292 469.09

Следовательно, расчет дюрации облигации будет следующим:

Формула продолжительности = 292 469,09 / 78 248,75

Из примера видно, что дюрация облигации увеличивается с уменьшением купонной ставки.

Актуальность и использование формулы продолжительности

Важно понимать концепцию дюрации, поскольку она используется инвесторами в облигации для проверки чувствительности облигации к изменениям процентных ставок. Дюрация облигации в основном показывает, насколько рыночная цена относится к текущей цене, преобладающей на рынке, по которому покупаются или продаются товары, услуги или активы.Ценовая точка, при которой предложение товара соответствует его спросу на рынке, становится его рыночной ценой. Более высокая стоимость облигации изменится из-за изменения процентной ставки. Стоит помнить, что процентная ставка и цена облигации движутся в противоположных направлениях, и поэтому цена облигации растет, когда процентная ставка падает, и наоборот.

В случае, если инвесторы ищут выгоды от снижения процентной ставки, инвесторы намереваются покупать облигации с более длительным сроком погашения, что возможно в случае облигаций с более низкой купонной выплатой и длительным сроком погашения.С другой стороны, инвесторы, которые хотят избежать волатильности процентной ставки, должны будут вкладывать средства в облигации с более низкой дюрацией или коротким сроком погашения и более высокой купонной выплатой.

Рекомендуемые статьи

Это был справочник по формуле продолжительности. Здесь мы обсудим, как рассчитать продолжительность облигации, используя практические примеры и загружаемый шаблон Excel. Вы можете узнать больше о финансовом анализе из следующих статей —

Определение, типы (Маколей, модифицированный, эффективный)

Что такое продолжительность?

Срок действия — одна из основных характеристик ценной бумаги с фиксированным доходом (например,g. Облигация Облигации Облигации — это ценные бумаги с фиксированным доходом, которые выпускаются корпорациями и правительствами для привлечения капитала. Эмитент облигации заимствует капитал у держателя облигации и производит ему фиксированные платежи по фиксированной (или переменной) процентной ставке в течение определенного периода.) Наряду со сроком погашения, доходностью, купонной ставкой Купонная ставка — это сумма годового процентного дохода, выплачиваемого держателю облигации. на основе номинальной стоимости облигации., и функций отзыва. Это инструмент, используемый для оценки волатильности цен на ценные бумаги с фиксированным доходом.

Так как процентная ставка Процентная ставка Процентная ставка означает сумму, взимаемую кредитором с заемщика за любую форму предоставленного долга, обычно выраженную в процентах от основной суммы долга. является одним из наиболее важных факторов, влияющих на стоимость облигации, дюрация измеряет чувствительность колебаний стоимости к изменениям процентных ставок. Общее правило гласит, что более длительная дюрация указывает на большую вероятность того, что стоимость облигации упадет по мере увеличения процентных ставок.

Продолжительность обычно используется в портфеле и управлении рисками Управление рисками Управление рисками включает в себя идентификацию, анализ и реагирование на факторы риска, которые составляют часть жизненного цикла бизнеса.Обычно это делается с инструментами с фиксированной доходностью. Используя прогнозы процентных ставок, управляющий портфелем может изменить состав портфеля, чтобы привести его продолжительность в соответствие с ожидаемым уровнем процентных ставок.

Однако дюрация показывает только одну сторону ценной бумаги с фиксированным доходом. Полный анализ актива с фиксированным доходом должен быть выполнен с использованием всех доступных характеристик.

Курс CFI по основам фиксированного дохода охватывает основные темы оценки фиксированного дохода.

Типы продолжительности

Метрика продолжительности существует в нескольких модификациях. Наиболее распространенными являются продолжительность Маколея, модифицированная продолжительность и эффективная продолжительность.

1. Дюрация Маколея

Дюрация Маколея представляет собой средневзвешенное значение времени до получения денежных потоков по инструменту с фиксированной доходностью. Эту концепцию представил канадский экономист Фредерик Маколей. Это мера времени, необходимого инвестору для выплаты стоимости облигации, исходя из общих денежных потоков по облигации.Продолжительность Маколея измеряется в единицах времени (например, в годах).

Дюрация Маколея для облигаций с выплатой купона всегда меньше, чем время до погашения облигации. Для бескупонных облигаций дюрация равна времени до погашения.

Формула для расчета дюрации Маколея выражается следующим образом:

Где:

  • t i — Время до i -го денежного потока от актив будет получен
  • PV i — приведенная стоимость i -го денежного потока от актива
  • V — приведенная стоимость всех денежных потоков от актива

2 .Модифицированная дюрация

По сравнению с дюрацией Маколея, модифицированная метрика дюрации является более точной мерой чувствительности к цене. В первую очередь он применяется к облигациям, но также может использоваться с другими типами ценных бумаг, которые можно рассматривать как функцию доходности.

Измененная дюрация показывает процентное изменение стоимости облигации при изменении процентной ставки X%. В отличие от дюрации Маколея модифицированная продолжительность измеряется в процентах.

Модифицированная продолжительность часто рассматривается как расширение продолжительности Маколея.Это подтверждается следующей математической формулой:

Где:

  • YTM — Доходность к погашению облигации
  • n — Частота начисления процентов

3. Эффективная дюрация

Эффективная дюрация — это показатель дюрации для облигаций со встроенными опционами (например, облигаций с правом отзыва). В отличие от модифицированной дюрации и дюрации Маколея, эффективная дюрация учитывает колебания в движении цены облигации относительно изменений доходности облигации к погашению (YTM).Другими словами, эта мера учитывает возможные колебания ожидаемых денежных потоков по облигации.

Эффективная дюрация рассчитывается по следующей формуле:

Где:

  • V Δy — Стоимость облигации при снижении доходности на y%
  • V + Δy — Стоимость облигации при увеличении доходности на y%
  • V 0 — Текущая стоимость всех денежных потоков по облигации
  • Δ y — Изменение доходности

Справочная информация

Чтобы продолжить карьеру, вам будут полезны следующие дополнительные ресурсы CFI:

  • Цены на облигации Стоимость облигаций Стоимость облигаций — это наука о расчете цены выпуска облигации на основе купона , номинальная стоимость, доходность и срок до погашения.Ценообразование облигаций позволяет инвесторам
  • Рынки долгового капитала Группы рынков долгового капитала (DCM) несут ответственность за предоставление консультаций непосредственно корпоративным эмитентам по вопросам привлечения заемных средств для приобретения, рефинансирования существующего долга или реструктуризации существующего долга. Эти группы работают в быстро меняющейся среде и тесно сотрудничают с партнером-консультантом.
  • Премия за риск капитала Премия за риск капитала Премия за риск капитала — это разница между доходностью собственного капитала / отдельной акции и безрисковой нормой доходности.Это компенсация инвестору за принятие более высокого уровня риска и инвестирование в акции, а не в безрисковые ценные бумаги.
  • Торговля с фиксированным доходом Торговля с фиксированным доходом Торговля с фиксированным доходом предполагает инвестирование в облигации или другие долговые ценные бумаги. Ценные бумаги с фиксированным доходом имеют несколько уникальных атрибутов и факторов, которые
.



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *